Znaleźć wzór jawny ciągu

[kaszlok]

Witajcie,

jak policzyć po kolei to zadanie: Znaleźć wzór jawny ciągu a takiego, że:

\(a(n+2) - 5a(n+1) + 6a(n) =n\)

a(0) = 0 i a(1) = 1.

[janekk]

Miałeś na zajęciach podaną metodę jak znajdować wzór jawny?

[Galen]

Może idzie o zapis:
\(a_{n+2}-5 a_{n+1}+6a_n=n\;\;\;i\;\;\;a_0=0\;\;\;\;i\;\;\;a_1=1\)
A może coś innego ?

[kaszlok]

Ja to liczę tak, ale wiem, że coś jest źle, o czymś nie wiem. Ale podam jak ja to liczę to mnie poprawcie.

1)

\(\gamma^2-5 \gamma +6=0\)
\(\Delta =1\)
\(\gamma_1=3\) i \(\gamma_2=2\)

2)
\(a_n=c_0\)
\(c_0-5c_0+6c_0=n\)
\(2c_0=n\)
\(c_0= \frac{n}{2}\)
\(a_n=\frac{n}{2}\)

3)

\(a_n= \alpha_1 *3^n + \alpha_2 * 2^n\)
\(a_0=\alpha_1+\alpha_2 = 0\)
\(a_1=3\alpha_1+2\alpha_2=1\)

więc \(\alpha_1=1\) a \(\alpha_2 = -1\)

\(a_n = 3^n + 2^n + \frac{n}{2}\) <- "wzór jawny ciągu"

Co robię źle ?

[janekk]

źle rozwiązujesz równanie niejednorodne.
jak wstawisz do równania n/2 to nie otrzymasz równości.
rozwiązanie szczególne szukasz w postaci: an+b

[kaszlok]

Prosiłbym Cię, żebyś mi pokazał jak to zrobić w takim razie, bo nigdzie nie widzę zadnego info. A jak zobacze na przykladzie to już skumam. Z góry dzieki

[janekk]

w 2 kroku zamiast:
\(a_n =c_0\)
to: \(a_n=An+B\)

Wstawiasz do równania rekurencyjnego i wyznaczasz współczynniki

[kaszlok]

Tak przypuszczałem, dzięki

W takim razie będzie tak:

\([c_1 (n+2) + c_0] - 5[ c_1 (n+1) + c_0] + 6[ c_1 n+c_0] = n\) ? Dobrze z nawiasami ?

I jak w takim wypadku traktować to: \(c_1 (n+2) - 5c_1 (n+1)\) ? To się dodaje czy porównuje czy jakoś inaczej ?

[kaszlok]

Gdy mają te same wspolczynniki przy tych samych potegach, ale nie wiem jak mam na to patrzeć.

Tak: \(c_1 (n+2) - 5c_1 (n+1) = ?\)

[janekk]

I gdy współczynniki przy odpowiednich potęgach są takie same.
zatem współczynnik przy 'n' wielomianu z lewej strony musi być równy 1.
Wyraz wolny wielomianu po lewej stronie musi być równy 0.

n(c_1-5c_1+6c_1)=n
c_1-5c_1+6c_1=1
c_1=1/2

wyznacz c_2.

[kaszlok]

Ja mam tylko \(c_0\) i \(c_1\). Nie mam \(c_2\)

[Galen]

A zobacz tu
http://www.wolframalpha.com/input/?i=a_ ... 2B6a_n%3Dn

[kaszlok]

Czyli:

\(c_0 - 5c_0 + 6 c_0 = 0

2c_0 = 0

c_0 = 0\) ?

[janekk]

podaj mi wyraz wolny wielomianu po lewej stronie?
jak widać z linku który podał Galen, c_0 =3/4

[kaszlok]

No wyraz wolny po lewej stronie to przy c_0 tak ? Juz sam nie wiem