Nierówność z wartością bezwględną

[wojtasekpl]

\(|5x-5|-|x-6|\geq 2\)

PS Przepraszam, ale dalej nie umiem ogarnąć jak zrobić \ge

[eresh]

1. dla \(x\leq 1\)

\(-5x+5-(6-x)\geq 2\\
-5x+5-6+x\geq 2\\
-4x\geq 3\\
x\leq -\frac{3}{4} \wedge x\leq 1 \Rightarrow \underline{x\in (-\infty, -\frac{3}{4}] }\)

2. dla \(1<x\leq 6\)

\(5x-5-(6-x)\geq 2\\
5x-5-6+x\geq 2\\
6x\geq 13\\
x\geq\frac{13}{6} \wedge 1<x\leq 6 \Rightarrow \underline{ \left[\frac{13}{6},6 \right] }\)

3. dla \(x>6\)

\(5x-5-x+6\geq 2\\
4x\geq 1\\
x\geq \frac{1}{4} \wedge x>6 \Rightarrow \underline{x\in (6,\infty)}\)

\(x\in \left(-\infty,-\frac{3}{4} \right]\cup \left[\frac{13}{6},\infty \right]\)

[patryk00714]

\(|5x-5|-|x-6| \ge 2\)

\(5|x-1|-|x-6| \ge 2\)

\(D_1: (-\infty,1) \;\;\;\ D_2: <1,6) \;\;\;\ D_3:<6,+\infty)\)

\(D_1:\)

\(5(-x+1)-(-x+6) \ge 2\)

\(-5x+5+x-6 \ge 2\)

\(-4x \ge 3\)

\(x \le -\frac{3}{4}\)

\(x \in (-\infty, -\frac{3}{4}>\)


\(D_2:\)

\(5(x-1)+x-6 \ge 2\)

\(5x-5+x-6 \ge 2\)

\(6x \ge 13\)

\(x \ge \frac{13}{2}\)

stąd \(x \in <\frac{13}{6},6)\)


\(D_3\)

\(5x-5-x+6 \ge 2\)

\(4x \ge 1\)

\(x \ge \frac{1}{4}\)

stąd \(x \in D_3\)

mamy więc \(x \in (-\infty,-\frac{3}{4}> \cup <\frac{13}{6},+\infty)\)