VIII próbna matura 2013 z zadania.info

[supergolonka]

Właśnie zamieściliśmy arkusze VIII próbnej matury.
http://www.zadania.info/n/9834122
Do jutra (28 kwietnia) do godz. 16 wszystkie posty na temat zadań i rozwiązań zadań z tych arkuszy będą usuwane.
Jeżeli macie wątpliwości co do poprawności treści zadań to piszcie na
supergolonkaMALPAzadania.info

[supergolonka]

Rozwiązania zadań:
Podstawa
Rozszerzenie

[papryczko]

Witam, mam pytania co do dziewiątego zadania.

W rozwiązaniach wszystkie zdarzenia elementarne (omega) są policzone jako kombinacje:
\(\frac{n!}{k!(n-k)!}\)

Skoro "losujemy bez zwracania" to czy nie powinno być wariacji bez powtórzeń?
\(\frac{n!}{(n-k)!}\)

[kacper218]

Nie jest ważna kolejność wylosowanych liczb dlatego kombinacje

[kamil13151]

Co do drugiego zadania, warto od razu zauważyć, że z interpretacji geometrycznej wartości bezwzględnej wynika \(|x+20|+|x+28| \ge 8\).

Można to też szybko algebraicznie pokazać, wystarczy skorzystać z: \(|a|+|b|= \text{max} \left\{|a+b|,|a-b| \right\}\), czyli:\(|x+20|+|x+28|=\text{max} \left\{|2x+48|,8 \right\} \ge 8\).

[kamil13151]

Jeśli w szóstym zadaniu nie widać jak to rozłożyć to jak zawsze pomocna metoda Ferrariego

[kacper218]

Jeśli w szóstym zadaniu nie widać jak to rozłożyć to jak zawsze pomocna metoda Ferrariego

Uczysz jej osoby w liceum?

[Jack1994]

Szczerze to nie słyszałem o takiej metodzie. Można pokrótce przybliżyć?

[kacper218]

Szczerze to nie słyszałem o takiej metodzie. Można pokrótce przybliżyć?

Google pomogą Ogólnie jedna z metod rozwiązywania równań stopnia 4-ego

[kamil13151]

Rozłóżmy na czynniki: \(x^4-x^3+3x^2-2x+2=0\). Idea metody: chcemy mieć różnicę kwadratów.

\(x^4-x^3=-3x^2+2x-2\) (obustronnie dodajmy \(\frac{1}{4}x^2\))

\(x^4-x^3+\frac{1}{4}x^2=-3x^2+\frac{1}{4}x^2+2x-2\)

\((x^2- \frac{1}{2}x)^2 =-3x^2+\frac{1}{4}x^2+2x-2\) (żeby było nam łatwiej pomnóżmy przez 4.

\((1) \ \ (2x^2-x)^2=-11x^2+8x-8\)

Teraz dodajmy parametr \(y\).

\((2x^2-x+y)^2-(2x^2-x)^2=4x^2y-2xy+y^2\), czyli do równania \((1)\) musimy obustronnie dodać: \(4x^2y-2xy+y^2\)

\((2x^2-x+y)^2=-11x^2+8x-8+(4x^2y-2xy+y^2)\)

\((2x^2-x+y)^2=x^2(-11+4y)+x(8-2y)-8+y^2\)

Teraz prawą stronę chcemy zwinąć do kwadratu, czyli \(\Delta=0\). Po rozwiązaniu \((8-2y)^2-4(-11+4y)(-8+y^2)=0\) otrzymujemy jedno z rozwiązań, szukamy najprostszego, \(y=3\).

Zatem dla \(y=3\) mamy:
\((2x^2-x+3)^2=x^2+2x+1\)

Dalej już prosto:
\((2x^2-x+3)^2=(x+1)^2\)

\((2x^2-x+3)^2-(x+1)^2=0\)

\((2x^2+4)(2x^2-2x+2)=0\) (dla uproszczenia podzielmy przez 4)

\((x^2+2)(x^2-x+1)=0\)


Ta metoda nie jest trudna, oczywiście dla maturzystów, którzy piszą maturkę rozszerzoną co najmniej na jakieś 50%.

[xray123]

Z góry przepraszam za nie używanie LaTeXa, ale nigdy wcześniej z niego nie korzystałem.

Mam pytanie dotyczące zadania 3. Z tego co widzę, w rozwiązaniu założyliśmy, że alfa + beta < 90 stopni, w związku z czym kąt (180-(alfa+beta)) należy do II ćwiartki i cosinus wynosi -cos(alfa+beta). Skąd tak naprawdę o tym wiemy ? Jeśli dobrze rozumuję nie wynika to z warunków zadania i jeśli alfa + beta > 90 stopni, to cosinus wyjdzie z plusem, a nie z minusem i rozwiązanie (chyba) nie wyjdzie takie jak trzeba.

[supergolonka]

Zawsze cos(180-(a+b))=-cos(a+b) niezależnie od wartości a+b. Nic nie zakładamy o a+b.

[tukan]

Zadanie 8. Dlaczego tą skalę k liczymy p[rzyrównując akurat te boki ? CA leży naprzeciw kąta prostego, a CN nie

[bartekc]

CN też leży naprzeciwko kąta prostego przecież

[stysiu18]

A ja mam pytanie do zadania 6. Spróbowałem to udowodnić inaczej niż jest pokazane w odpowiedziach i chciałbym wiedzieć czy jest to dobrze, a mianowicie mój tok myślenia.
przekształcam do postaci

\(x^2(x^2-x+3)-2(x-1)>0\)
\(x^2(x^2-x+3)>2(x-1)\)

i teraz o \(x^2-x+3\) wiem że \(\Delta <0\) i \(a>0\) czyli dla każdego \(x \in R\) wyrażenie jest dodatnie oraz wykazuje ponadto że \(x^2>2x-2\)
(przenosze x i wyliczam delte) wiec otrzymuje że dla każdego x należącego do R \(-x^2-2x-2<0\)
wiec jesli \(x^2>2x-2\) to prawdą będzie że \(x^2(x^2-x+3)>2(x-1)\) dla \(x \in R\)

Dobrze rozumuje?