kurde, mam problem tylko z tym zadankiem;
1.Ramiona trojkata rownoramiennego maja dlugosci 8,a kat miedzy nimi ma miare 120 stopni.Wyznacz promien kola wpisanego w trojkat oraz promienia okregu opisanego na trojkacie.
trygonometria w planimetrii
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
Martusia_S
- Dopiero zaczynam
- Posty: 11
- Rejestracja: 01 lis 2009, 14:23
Jeśli poprowadzisz wysokość trójkąta z wierzchołka kąta rozwartego, to podzieli ona trójkąt na dwa przystające trójkąty prostokątne o kącie ostrym \(60^0\) i przeciwprostokątnej równej 8. Jedna z przyprostokątnych (przyległa do kąta \(60^0\) to wysokość trójkąta, a druga to połowa podstawy).
Z tego trójkąta mamy:
h- wysokość trójkąta, a - długość podstawy trójkąta.
\(\frac{h}{8}=cos60^0\\h=8\cdot\frac{1}{2}\\h=4\\\frac{\frac{1}{2}a}{8}=sin60^0\\\frac{1}{2}a=4\sqrt{3}\\a=8\sqrt{3}\)
Żeby obliczyć promienie obu okręgów, najlepiej wykorzystać różne sposoby obliczania pola trójkąta.
\(P=\frac{1}{2}ah=\frac{1}{2}\cdot4\cdot8\sqrt{3}=16\sqrt{3}\).
\(P=pr\), gdzie p - połowa obwodu, r - promień okręgu wpisanego.
\(p=\frac{8+8+8\sqrt{3}}{2}=4(2+\sqrt{3})\)
\(4(2+\sqrt{3})\cdot\ r=16\sqrt{3}\\r=\frac{4\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}\\r=8\sqrt{3}-12\\r=4(2\sqrt{3}-3)\)
\(P=\frac{abc}{4R}\) , gdzie a, b, c - długości boków trójkąta, R - promień okręgu opisanego
\(\frac{8\cdot8\cdot8\sqrt{3}}{4R}=16\sqrt{3}\\64\cdot8\sqrt{3}=64\sqrt{3}\cdot\ R\\R=8\)
Z tego trójkąta mamy:
h- wysokość trójkąta, a - długość podstawy trójkąta.
\(\frac{h}{8}=cos60^0\\h=8\cdot\frac{1}{2}\\h=4\\\frac{\frac{1}{2}a}{8}=sin60^0\\\frac{1}{2}a=4\sqrt{3}\\a=8\sqrt{3}\)
Żeby obliczyć promienie obu okręgów, najlepiej wykorzystać różne sposoby obliczania pola trójkąta.
\(P=\frac{1}{2}ah=\frac{1}{2}\cdot4\cdot8\sqrt{3}=16\sqrt{3}\).
\(P=pr\), gdzie p - połowa obwodu, r - promień okręgu wpisanego.
\(p=\frac{8+8+8\sqrt{3}}{2}=4(2+\sqrt{3})\)
\(4(2+\sqrt{3})\cdot\ r=16\sqrt{3}\\r=\frac{4\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}\\r=8\sqrt{3}-12\\r=4(2\sqrt{3}-3)\)
\(P=\frac{abc}{4R}\) , gdzie a, b, c - długości boków trójkąta, R - promień okręgu opisanego
\(\frac{8\cdot8\cdot8\sqrt{3}}{4R}=16\sqrt{3}\\64\cdot8\sqrt{3}=64\sqrt{3}\cdot\ R\\R=8\)