TREŚĆ ZADANIA .rozwiąż równanie różniczkowe stosując rachunek operatorowy Laplace'a x''+ax' +bx=f(t) gdzie a=7 b=10 x(0)=0 x'(0)=0 f(t) =t
proszę o pomoc
Rachunek operatorowy Laplace'a
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
patryk00714
- Mistrz
- Posty: 8799
- Rejestracja: 13 mar 2011, 12:28
- Lokalizacja: Śmigiel
- Podziękowania: 92 razy
- Otrzymane podziękowania: 4450 razy
- Płeć:
-
patryk00714
- Mistrz
- Posty: 8799
- Rejestracja: 13 mar 2011, 12:28
- Lokalizacja: Śmigiel
- Podziękowania: 92 razy
- Otrzymane podziękowania: 4450 razy
- Płeć:
Re: Rachunek operatorowy Laplace'a
\(x''+7x'+10x=t\)
\(L(x'')+7L(x')+10L(x)=L(t)\)
Teraz korzystamy ze wzoru:
\(L[f^{(n)}(x)]=s^nL[f(x)]-s^{n-1}f(0^+)-s^{n-2}f'(0^+)-...-f^{(n-1)}(0^+)\)
i mamy \(s^2L(x)-sx(0)-x'(0)+7(sL(x)-x(0))+10L(x)=\frac{1}{s^2}\)
podstawiamy dane z zadania:
\(s^2L(x)+7sL(x)+10L(x)=\frac{1}{s^2}\)
\(L(x)=\frac{1}{s^2(s^2+7s+10)}\)
teraz działamy transformatą odwrotną, ale będzie lepiej, jak najpierw rozłożymy \(\frac{1}{s^2(s^2+7s-10)}\) na ułamki proste:
\(\frac{1}{s^2(s^2+7s-10)}= \frac{1}{10s^2}- \frac{1}{100s}+ \frac{1}{12(s+2)}- \frac{1}{75(s+5)}\)
mamy więc \(L(x)=\frac{1}{10s^2}- \frac{1}{100s}+ \frac{1}{12(s+2)}- \frac{1}{75(s+5)}\)
czyli \(x=L^{-1}[\frac{1}{10s^2}- \frac{1}{100s}+ \frac{1}{12(s+2)}- \frac{1}{75(s+5)}]=\)
\(=\frac{1}{10}L^{-1}[\frac{1}{s^2}]-\frac{1}{100}L^{-1}[\frac{1}{s}]+\frac{1}{12}L^{-1}[\frac{1}{s+2}]-\frac{1}{75}L^{-1}[\frac{1}{s+5}]=\)
\(=\frac{1}{10}t-\frac{1}{100}+\frac{1}{12}e^{-2t}-\frac{1}{75}e^{-5t}\)
mam nadzieje, że dysponujesz tablicą wzorów dla transformaty
\(L(x'')+7L(x')+10L(x)=L(t)\)
Teraz korzystamy ze wzoru:
\(L[f^{(n)}(x)]=s^nL[f(x)]-s^{n-1}f(0^+)-s^{n-2}f'(0^+)-...-f^{(n-1)}(0^+)\)
i mamy \(s^2L(x)-sx(0)-x'(0)+7(sL(x)-x(0))+10L(x)=\frac{1}{s^2}\)
podstawiamy dane z zadania:
\(s^2L(x)+7sL(x)+10L(x)=\frac{1}{s^2}\)
\(L(x)=\frac{1}{s^2(s^2+7s+10)}\)
teraz działamy transformatą odwrotną, ale będzie lepiej, jak najpierw rozłożymy \(\frac{1}{s^2(s^2+7s-10)}\) na ułamki proste:
\(\frac{1}{s^2(s^2+7s-10)}= \frac{1}{10s^2}- \frac{1}{100s}+ \frac{1}{12(s+2)}- \frac{1}{75(s+5)}\)
mamy więc \(L(x)=\frac{1}{10s^2}- \frac{1}{100s}+ \frac{1}{12(s+2)}- \frac{1}{75(s+5)}\)
czyli \(x=L^{-1}[\frac{1}{10s^2}- \frac{1}{100s}+ \frac{1}{12(s+2)}- \frac{1}{75(s+5)}]=\)
\(=\frac{1}{10}L^{-1}[\frac{1}{s^2}]-\frac{1}{100}L^{-1}[\frac{1}{s}]+\frac{1}{12}L^{-1}[\frac{1}{s+2}]-\frac{1}{75}L^{-1}[\frac{1}{s+5}]=\)
\(=\frac{1}{10}t-\frac{1}{100}+\frac{1}{12}e^{-2t}-\frac{1}{75}e^{-5t}\)
mam nadzieje, że dysponujesz tablicą wzorów dla transformaty
Otrzymałeś odpowiedź do umieszczonego zadania? Podziękuj autorowi za rozwiązanie!!
\(\exp (i \pi) +1=0\)
\(\exp (i \pi) +1=0\)
Re: Rachunek operatorowy Laplace'a
[quote="patryk00714"]\(x''+7x'+10x=t\)
\(L(x'')+7L(x')+10L(x)=L(t)\)
Teraz korzystamy ze wzoru:
\(L[f^{(n)}(x)]=s^nL[f(x)]-s^{n-1}f(0^+)-s^{n-2}f'(0^+)-...-f^{(n-1)}(0^+)\)
i mamy \(s^2L(x)-sx(0)-x'(0)+7(sL(x)-x(0))+10L(x)=\frac{1}{s^2}\)
podstawiamy dane z zadania:
\(s^2L(x)+7sL(x)+10L(x)=\frac{1}{s^2}\)
\(L(x)=\frac{1}{s^2(s^2+7s+10)}\) =\(L(x)=\frac{1}{s^2(S+2)(S+5)}\) = \(\frac{A1}{s^2}\)+\(\frac{A2}{s}\)+\(\frac{B}{(s+2)}\)+\(\frac{C}{(s+5)}\)= \(={A1}t+{A2}+{B}e^{-2t}+{C}e^{-5t}\) CZY MÓGŁBYŚ POLICZYĆ MI TO W TEN SPOSÓB? tzn chodzi o wartośći A1 A2 B C BYŁBYM WDZIĘCZNY
\(L(x'')+7L(x')+10L(x)=L(t)\)
Teraz korzystamy ze wzoru:
\(L[f^{(n)}(x)]=s^nL[f(x)]-s^{n-1}f(0^+)-s^{n-2}f'(0^+)-...-f^{(n-1)}(0^+)\)
i mamy \(s^2L(x)-sx(0)-x'(0)+7(sL(x)-x(0))+10L(x)=\frac{1}{s^2}\)
podstawiamy dane z zadania:
\(s^2L(x)+7sL(x)+10L(x)=\frac{1}{s^2}\)
\(L(x)=\frac{1}{s^2(s^2+7s+10)}\) =\(L(x)=\frac{1}{s^2(S+2)(S+5)}\) = \(\frac{A1}{s^2}\)+\(\frac{A2}{s}\)+\(\frac{B}{(s+2)}\)+\(\frac{C}{(s+5)}\)= \(={A1}t+{A2}+{B}e^{-2t}+{C}e^{-5t}\) CZY MÓGŁBYŚ POLICZYĆ MI TO W TEN SPOSÓB? tzn chodzi o wartośći A1 A2 B C BYŁBYM WDZIĘCZNY