stereometria
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
stereometria
wyznacz stosunek objetosci szescianu o krawedzi dlugosci 4cm do objetosci kuli opisanej na tym szescianie
Oznaczyłam a - długość krawędzi sześcianu, r -promień kuli.
Średnica kuli jest równa przekątnej sześcianu. Przekątna sześcianu (p) z krawędzią sześcianu i przekątną podstawy tworzą trójkąt prostokątny. Przekątna podstawy sześcianu (kwadratu o boku a) ma długość \(a\sqrt{2}\). Z twierdzenia Pitagorasa:
\(a^2+(a\sqrt{2})^2=p^2\\p^2=3a^2\\p=a\sqrt{3}\).
\(a\sqrt{3}=2r\\r=\frac{a\sqrt{3}}{2}\).
Objętość sześcianu;
\(V_s=a^3\).
Objętość kuli:
\(V_k=\frac{4}{3}\cdot\ r^3\\V_k=\frac{4}{3}\cdot(\frac{a\sqrt{3}}{2})^3\\V_k=\frac{4}{3}\cdot\frac{a^3\cdot3\sqrt{3}}{8}\\V_k=\frac{a^3\sqrt{3}}{2}\).
\(\frac{V_s}{V_k}=a^3:(\frac{a^3\sqrt{3}}{2})\\\frac{V_s}{V_k}=a^3\cdot\frac{2}{a^3\sqrt{3}}\\\frac{V_s}{V_k}=\frac{2}{\sqrt{3}}\\\frac{V_s}{V_k}=\frac{2\sqrt{3}}{3}\).
Średnica kuli jest równa przekątnej sześcianu. Przekątna sześcianu (p) z krawędzią sześcianu i przekątną podstawy tworzą trójkąt prostokątny. Przekątna podstawy sześcianu (kwadratu o boku a) ma długość \(a\sqrt{2}\). Z twierdzenia Pitagorasa:
\(a^2+(a\sqrt{2})^2=p^2\\p^2=3a^2\\p=a\sqrt{3}\).
\(a\sqrt{3}=2r\\r=\frac{a\sqrt{3}}{2}\).
Objętość sześcianu;
\(V_s=a^3\).
Objętość kuli:
\(V_k=\frac{4}{3}\cdot\ r^3\\V_k=\frac{4}{3}\cdot(\frac{a\sqrt{3}}{2})^3\\V_k=\frac{4}{3}\cdot\frac{a^3\cdot3\sqrt{3}}{8}\\V_k=\frac{a^3\sqrt{3}}{2}\).
\(\frac{V_s}{V_k}=a^3:(\frac{a^3\sqrt{3}}{2})\\\frac{V_s}{V_k}=a^3\cdot\frac{2}{a^3\sqrt{3}}\\\frac{V_s}{V_k}=\frac{2}{\sqrt{3}}\\\frac{V_s}{V_k}=\frac{2\sqrt{3}}{3}\).