forum.zadania.info

Mam mały problem z pewnym zadaniem, gdyż nie wiem, czy udowodniłem je poprawnie. A więc:
Wykaż, że jeśli \(a_1<a_2<...<a_n\), to równanie \(\frac{1}{x-a_1}+ \frac{1}{x-a_2}+...+ \frac{1}{x-a_n}=0\) ma w każdym z przedziałów \((a_i , a_i_+_1)\) dokładnie jeden pierwiastek.
Jakieś propozycje rozwiązań? ; )

Funkcja jest w każdym takim przedziale ciągłą.
Dostajemy
\(\lim_{x\to a_i^+} f(x)=+ \infty

\lim_{x\to a_{i+1}^-}=- \infty\)

Więc z własności Darboux musi mieć miejsce zerowe w każdym przedziale \((a_i, a_{i+1})\) A jest jeden bo funkcja jest w każdym takim przedziałku ściśle rosnąca (policz pochodną)