całki nieoznaczone

[Kaka08]

\(\int_{}^{}cos^3xdx\)-metoda przez podstawienie.
\(\int_{}^{} \frac{4-x}{2+ \sqrt{x} }dx\)-metoda przez podstawienie.
\(\int_{}^{} xcosx^2dx\)-metoda przez podstawienie.
\(\int_{}^{} e^2^xcos3x*dx\)-przez części.
\(\int_{}^{} arccosxdx\)-przez części.

Proszę o wykonanie powyższych całek, wymienionymi metodami. Dzięki z góry.

[josselyn]

\(\int_{}^{}cos^3xdx= \begin{vmatrix}
sinx=t
cosxdx=dt
\end{vmatrix}= \int_{}^{} (1-t^2)dt= \int_{}^{} dt- \int_{}^{} t^2dt=t- \frac{t^3}{3}+C=
t- \frac{t^3}{3}+C=sinx- \frac{sin^3x}{3}+C\)

[radagast]

\(\int \frac{4-x}{2+ \sqrt{x} }dx=\int \frac{(2+ \sqrt{x})(2- \sqrt{x})}{2+ \sqrt{x} }dx=\int 2- \sqrt{x}dx= \left( \sqrt{x}=t\\dx=2tdt \right) = \int 4t- 2t^2dt=2t^2+ \frac{2}{3}t^3+C=
2x+ \frac{2}{3} \sqrt{x}^3+C\)

[josselyn]

\(\int_{}^{} xcosx^2dx= \begin{vmatrix} x^2=t
2xdx=dt
xdx=0.5dt
\end{vmatrix}= \int_{}^{} 0.5costdt=0.5sint+C=0.5sinx^2+C\)

[patryk00714]

\(\int_{}^{} arccosxdx=xarccosx+\int_{}^{} \frac{xdx}{\sqrt{1-x^2}}\)

zajmijmy się całką \(\int_{}^{} \frac{xdx}{\sqrt{1-x^2}}= \begin{vmatrix}t=1-x^2 \\dt=-2xdx \\xdx = -\frac{1}{2}dt \end{vmatrix}= \int_{}^{} -\frac{1}{2\sqrt{t}}=-\sqrt{t}=-\sqrt{1-x^2}\)

stąd \(\int_{}^{} arccosxdx=xarccosx+\int_{}^{} \frac{xdx}{\sqrt{1-x^2}}=xarccosx-\sqrt{1-x^2}+C\)

[patryk00714]

\(\int_{}^{} e^{2x}cos3xdx= \int_{}^{} (\frac{1}{2}e^{2x})'cos3xdx=\frac{1}{2}e^{2x}cos(3x)+\frac{3}{2} \int_{}^{} e^{2x}sin3xdx=\\=\frac{1}{2}e^{2x}cos(3x)+\frac{3}{2}(\frac{1}{2}e^{2x}sin3x- \frac{3}{2} \int_{}^{}e^{2x}cos3xdx)= \\ = \frac{1}{2}e^{2x}cos(3x)+\frac{3}{4}e^{2x}sin3x-\frac{9}{4} \int_{}^{} e^{2x}cos3xdx\)

stąd \(\frac{13}{4} \int_{}^{} e^{2x}cos3xdx=\frac{1}{2}e^{2x}(cos3x+\frac{3}{2}sin3x)\)

czyli \(\int_{}^{} e^{2x}cos3xdx=\frac{2}{13}e^{2x}(cos3x+\frac{3}{2}sin3x)+C\)