forum.zadania.info

Pole trójkąta prostokątnego jest równe \(6\sqrt{3}\) cm2. Wysokość opuszczona z wierzchołka kąta prostego dzieli kąt prosty
w stosunku \(1:2\). Oblicz długości środkowych w tym trójkącie.

Z racji, że wysokość poprowadzona z kąta prostego podzieliła go w stosunku 2:1, to są to kąty 30 i 60.

\(|BC|=a, |AB|= 1/2a, |AC|=a* \sqrt{3}\) (trójkąt 30,60,90)
\(P= \frac{1}{2} * \frac{1}{2}a*a\sqrt{3}=6 \sqrt{3}\)
\(\frac{1}{4}a^2 \sqrt{3} = 6 \sqrt{3}\)
\(a^2=24\)
\(a=2 \sqrt{6}\)
Długość środkowej poprowadzonej z wierzchołka C można szybko wyliczyć. Powstaje trójkąt prostokątny o przyprostokątnych:\(a \sqrt{3}\) oraz \(\frac{1}{4}a\)
Stąd przeciwprostokątna poprowadzona do boku AB ma długość: \(\frac{7}{2} \sqrt{6}\)
Podobnie liczymy środkową poprowadzona z wierzchołka B.
\((\frac{1}{2}* \sqrt{6}* \sqrt{3})^2 + ( \frac{1}{2}*2 \sqrt{6} )^2= \sqrt{ \frac{42}{4} }\)

Ostatnia środkowa poprowadzona z wierzchołka A - można ją wyliczyć używając twierdzenia cosinusów:
Jako \(x\) oznaczamy szukaną środkową. Twierdzenie stosujemy do trójkąta o wierzchołkach A B oraz punkt przecięcia Srodkowej z bokiem BC.

\(x^2=(\sqrt{6})^2+(\sqrt{6})^2 -2* \sqrt{6}* \sqrt{6} * cos60\)
\(x^2=6+6-12* \frac{1}{2}\)
\(x^2=6\)
\(x= \sqrt{6}\)

Wybaczcie, że odkopuję taką skamielinę, ale ostatnio pojawiła się ona na jednym z zestawów ćwiczeniowych i mam pewną wątpliwość co do rozwiązania.

Jeśli wg założeń: \(|BC|=a\) i \(|AB|= \frac{1}{2}a\), to przypadkiem nie powinno być \(|AC|= \frac{a \sqrt{3}}{2}\)?

Jeśli mam rację wyniki będą całkowicie inne.

Jeśli się mylę proszę wyprowadzić mnie z błędu