2). Przekątne prostokąta dzielą go na ztery trójkąty, Oblicz pole prostokąta, jeśli pole jednego z trójkątów rozwartokątnych jest: a) równe 1 (odpowiedź: 4),
b) o 9 mniejsze od pola prostokąta (odpowiedź:12)
z gory bardzo dziękuję
,Czworokąty
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Czworokąty
1). W kwadrat ABCD wpisano kwadrat A1B1C1D1 w taki sposób, że do każdego boku kwadratu ABCD należy jeden wierzchołek kwadratu A1B1C1D1. Wyznacz stosunek pól tych kwadratów, jesli boki kwadratu A1B1C1D1 tworzą z bokami kwadratu ABCD: kąty odpowiednio 30 stopni i 60 stopni (powinno wyjść: 2 przez 2 + pierwiastek z 3).
2). Przekątne prostokąta dzielą go na ztery trójkąty, Oblicz pole prostokąta, jeśli pole jednego z trójkątów rozwartokątnych jest: a) równe 1 (odpowiedź: 4),
b) o 9 mniejsze od pola prostokąta (odpowiedź:12)
z gory bardzo dziękuję,
2). Przekątne prostokąta dzielą go na ztery trójkąty, Oblicz pole prostokąta, jeśli pole jednego z trójkątów rozwartokątnych jest: a) równe 1 (odpowiedź: 4),
b) o 9 mniejsze od pola prostokąta (odpowiedź:12)
z gory bardzo dziękuję
,
1.
Jeśli narysujemy rysunek, to zauważymy, że każdy punkt kwadratu \(A_1B_1C_1D_1\) dzieli bok kwadratu ABCD na dwie części. Jeśli oznaczymy;
x- bok kwadratu ABCD
y- bok kwadratu \(A_1B_1C_1D_1\) , to jedna z części boku x ma długość \(\frac{1}{2}y\), a druga \(\frac{y\sqrt{3}}{2}\)
Mamy więc: \(x=\frac{y}{2}+\frac{y\sqrt{3}}{2}\).
Stąd \(x=y\cdot\frac{1+\sqrt{3}}{2}\)
Stąd \(\frac{x}{y}=\frac{1+\sqrt{3}}{2}\)
\(\frac{x^2}{y^2}=\frac{(1+\sqrt{3})^2}{2^2}=\frac{1+2\sqrt{3}+3}{4}=\frac{4+2\sqrt{3}}{2}=\frac{2+\sqrt{3}}{2}\)
Jeśli narysujemy rysunek, to zauważymy, że każdy punkt kwadratu \(A_1B_1C_1D_1\) dzieli bok kwadratu ABCD na dwie części. Jeśli oznaczymy;
x- bok kwadratu ABCD
y- bok kwadratu \(A_1B_1C_1D_1\) , to jedna z części boku x ma długość \(\frac{1}{2}y\), a druga \(\frac{y\sqrt{3}}{2}\)
Mamy więc: \(x=\frac{y}{2}+\frac{y\sqrt{3}}{2}\).
Stąd \(x=y\cdot\frac{1+\sqrt{3}}{2}\)
Stąd \(\frac{x}{y}=\frac{1+\sqrt{3}}{2}\)
\(\frac{x^2}{y^2}=\frac{(1+\sqrt{3})^2}{2^2}=\frac{1+2\sqrt{3}+3}{4}=\frac{4+2\sqrt{3}}{2}=\frac{2+\sqrt{3}}{2}\)
Przepraszam, zapomniałam o drugim zadaniu.
Łatwo pokazać, że każdy z trójkątów, na które przekątne dzielą prostokąt mają równe pola. (Podstawa takiego trójkąta to jeden bok, a wysokość to połowa drugiego boku prostokąta). Czyli każdy z trójkątów ma pole 4 razy mniejsze od pola prostokąta.
a) Jeżeli pole jednego z tych trójkątów jest równe 1, to pole prostokąta jest równe 4.
b)Jeżeli pole jednego z nich jest o 9 mniejsze od pola prostokąta, to pola pozostałych trzech w sumie dają 9. Czyli pole jednego trójkąta jest równe 3. Pole prostokąta jest zatem równe 12.
Łatwo pokazać, że każdy z trójkątów, na które przekątne dzielą prostokąt mają równe pola. (Podstawa takiego trójkąta to jeden bok, a wysokość to połowa drugiego boku prostokąta). Czyli każdy z trójkątów ma pole 4 razy mniejsze od pola prostokąta.
a) Jeżeli pole jednego z tych trójkątów jest równe 1, to pole prostokąta jest równe 4.
b)Jeżeli pole jednego z nich jest o 9 mniejsze od pola prostokąta, to pola pozostałych trzech w sumie dają 9. Czyli pole jednego trójkąta jest równe 3. Pole prostokąta jest zatem równe 12.
1. W czworokącie wypukłym przekątne mają długości 12 cm i 15 cm i tworzą z jednym z boków kąty miary odpowiednio alfa = 70 stopni i beta = 80 stopni. Oblicz pole tego czworokąta. (odpowiedź: 45 cm)
2) Dane są długości przekątnych czworokąta wypukłego d1 = pierwsiatek z 6 i d2= pierwiastek z 8 oraz jego pole P=3 m kwadratowe. Oblicz miarę kąta przecięcia przekątnych. (odpowiedz: 60 stopni).
bardzo dziekuję z gory
2) Dane są długości przekątnych czworokąta wypukłego d1 = pierwsiatek z 6 i d2= pierwiastek z 8 oraz jego pole P=3 m kwadratowe. Oblicz miarę kąta przecięcia przekątnych. (odpowiedz: 60 stopni).
bardzo dziekuję z gory
1.
Jeżeli kąty przekątnych z jednym z boków mają podane miary, to przekątne te przecinają się pod kątem \(30^o\).
Można wyprowadzić wzór na pole prostokąta wypukłego, w którym przekątne przecinają się pod kątem \(\alpha\).
Niech przekątna o długości 15 podzielona będzie punktem przecięcia przekątnych na odcinki o długościach x i 15-x,
a przekątna o długości 12 na odcinki y i 12-y. Kąt między odcinkami x i y ma \(30^o\).
W tym przykładzie czworokąt podzielony jest na cztery trójkąty:
- w jednym boki o długościach x i y tworzą kąt \(30^o\)
- w drugim boki o długościach y i (15-x) tworzą kąt \(150^o\)
- w trzecim boki o długościach (15-x) i (12-y) tworzą kąt \(30^o\)
- w czwartym boki o długościach (12-y) i x tworzą kąt \(150^o\).
\(sin150^o=sin30^o=\frac{1}{2}\).
Pole czworokąta \(P_c\)to suma pól czterech opisanych trójkątów.
Wykorzystam wzór na pole trójkąta
\(P=\frac{1}{2}absin\alpha\)
\(P_c=\frac{1}{2}xy\cdot\frac{1}{2}+\frac{1}{2}(15-x)y\cdot\frac{1}{2}+\frac{1}{2}x(12-y)\cdot\frac{1}{2}+\frac{1}{2}(12-y)(15-x)\cdot\frac{1}{2}\\P_c=\frac{1}{4}(xy+15y-xy+12x-xy+180-12x-15y+xy)=\frac{1}{4}\cdot180=45.\).
Jeżeli kąty przekątnych z jednym z boków mają podane miary, to przekątne te przecinają się pod kątem \(30^o\).
Można wyprowadzić wzór na pole prostokąta wypukłego, w którym przekątne przecinają się pod kątem \(\alpha\).
Niech przekątna o długości 15 podzielona będzie punktem przecięcia przekątnych na odcinki o długościach x i 15-x,
a przekątna o długości 12 na odcinki y i 12-y. Kąt między odcinkami x i y ma \(30^o\).
W tym przykładzie czworokąt podzielony jest na cztery trójkąty:
- w jednym boki o długościach x i y tworzą kąt \(30^o\)
- w drugim boki o długościach y i (15-x) tworzą kąt \(150^o\)
- w trzecim boki o długościach (15-x) i (12-y) tworzą kąt \(30^o\)
- w czwartym boki o długościach (12-y) i x tworzą kąt \(150^o\).
\(sin150^o=sin30^o=\frac{1}{2}\).
Pole czworokąta \(P_c\)to suma pól czterech opisanych trójkątów.
Wykorzystam wzór na pole trójkąta
\(P=\frac{1}{2}absin\alpha\)
\(P_c=\frac{1}{2}xy\cdot\frac{1}{2}+\frac{1}{2}(15-x)y\cdot\frac{1}{2}+\frac{1}{2}x(12-y)\cdot\frac{1}{2}+\frac{1}{2}(12-y)(15-x)\cdot\frac{1}{2}\\P_c=\frac{1}{4}(xy+15y-xy+12x-xy+180-12x-15y+xy)=\frac{1}{4}\cdot180=45.\).
2.
Nie wiem, czy mieliście wzór, wspomniany przeze mnie w 1. zadaniu. Jeśli oznaczymy:
a, b - długości przekątnych czworokąta wypukłego
\(\alpha\) - kąt, pod którym przecinają się te przekątne,
to pole czworokąta \(P_c=\frac{1}{2}absin\alpha\).
\(sin(180^o-\alpha)=sin\alpha\).
Jeśli przyjmiesz opis, jak w poprzednim zadaniu:
przekątna a podzielona jest na odcinki x i (a-x)
przekątna b podzielona jest na odcinki y i (b-y),
kąty w trójkątach mają miary \(\alpha\) i \((180^o-\alpha)\).
\(P_c=\frac{1}{2}xysin\alpha+\frac{1}{2}y(a-x)sin(180^o-\alpha)+\frac{1}{2}x(b-y)sin(180^o-\alpha)+\frac{1}{2}(a-x)(b-y)sin\alpha\\P_c=\frac{1}{2}sin\alpha(xy+ay-xy+ab-ay-bx+xy+bx-xy)=\frac{1}{2}absin\alpha\).
\(P=\frac{1}{2}d_1\cdot\ d_2\cdot\sin\alpha\)
\(\frac{1}{2}\cdot\sqrt{6}\cdot\sqrt{8}\cdot\sin\alpha=3\)
\(\frac{1}{2}\cdot4\sqrt{3}\cdot\sin\alpha=3\\sin\alpha=\frac{\sqrt{3}}{2}\\\alpha=60^o\).
Nie wiem, czy mieliście wzór, wspomniany przeze mnie w 1. zadaniu. Jeśli oznaczymy:
a, b - długości przekątnych czworokąta wypukłego
\(\alpha\) - kąt, pod którym przecinają się te przekątne,
to pole czworokąta \(P_c=\frac{1}{2}absin\alpha\).
\(sin(180^o-\alpha)=sin\alpha\).
Jeśli przyjmiesz opis, jak w poprzednim zadaniu:
przekątna a podzielona jest na odcinki x i (a-x)
przekątna b podzielona jest na odcinki y i (b-y),
kąty w trójkątach mają miary \(\alpha\) i \((180^o-\alpha)\).
\(P_c=\frac{1}{2}xysin\alpha+\frac{1}{2}y(a-x)sin(180^o-\alpha)+\frac{1}{2}x(b-y)sin(180^o-\alpha)+\frac{1}{2}(a-x)(b-y)sin\alpha\\P_c=\frac{1}{2}sin\alpha(xy+ay-xy+ab-ay-bx+xy+bx-xy)=\frac{1}{2}absin\alpha\).
\(P=\frac{1}{2}d_1\cdot\ d_2\cdot\sin\alpha\)
\(\frac{1}{2}\cdot\sqrt{6}\cdot\sqrt{8}\cdot\sin\alpha=3\)
\(\frac{1}{2}\cdot4\sqrt{3}\cdot\sin\alpha=3\\sin\alpha=\frac{\sqrt{3}}{2}\\\alpha=60^o\).