4.
(4, x, y) - ciąg arytmetyczny, czyli 2x=y+4, y= 2x - 4
(4, x+1, y+3) - ciąg geometryczny, czyli
\((x+1)^2=4(y+3)\\x^2+2x+1=4(2x-1)\\x^2-6x+5=0\\\begin{cases}x_1=1\\y_1=-2\end{cases}\ \vee\begin{cases}x_2=5\\y_2=6\end{cases}\)
Ciągi- zadania
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
skoczek-92
- Często tu bywam
- Posty: 178
- Rejestracja: 03 gru 2009, 15:53
- Podziękowania: 46 razy
Dziekuje... 1.Pilka odbijajac sie od ziemi osiaga za kazdym azem wysokosc wynoszaca 3/4 poprzedniej. A za trzecim razem wysokosc 54 cm. Na jaka wysokosc odbila sie pila za pierwszym razem?
2.Pierwszy odcinek lamanej ma dl 3 cm, a kazdy nastepny jest 2 razy dluzszy od poprzedniego . Z ilu odcinkow sklada sie lamana, jesli ma ona dl. 765c cm?
3.Nieskonczony ciag liczbowy an okreslony jest wzorem an=4n-31. Wyrazy ak, ak+1, ak+2 danego ciagu wziete w takim porzadku powiekszono wyraz ak o 1, wyraz ak+1 o 3 oraz wyraz ak+2 o 23. W ten sposob otrzymano trzy pierwsze wyrazy ciagu eometrycznego. WYznacz k oraz czwarty wyraz tego ciagu geometrycznego.
2.Pierwszy odcinek lamanej ma dl 3 cm, a kazdy nastepny jest 2 razy dluzszy od poprzedniego . Z ilu odcinkow sklada sie lamana, jesli ma ona dl. 765c cm?
3.Nieskonczony ciag liczbowy an okreslony jest wzorem an=4n-31. Wyrazy ak, ak+1, ak+2 danego ciagu wziete w takim porzadku powiekszono wyraz ak o 1, wyraz ak+1 o 3 oraz wyraz ak+2 o 23. W ten sposob otrzymano trzy pierwsze wyrazy ciagu eometrycznego. WYznacz k oraz czwarty wyraz tego ciagu geometrycznego.
3.
\(a_k=4k-31\\a_{k+1}=4(k+1)-31=4k-27\\a_{k+2}=4(k+2)-31=4k-23\)
Nowy ciąg
\(b_1=a_k+1=4k-30\\b_2=a_{k+1}+3=4k-24\\b_3=a_{k+2}+23=4k\\b_2^2=b_1\cdot\ b_2\\(4k-24)^2=(4k-30)\cdot\ 4k\\16k^2-192k+576=16k^2-120k\\72k=576\\k=8\)
\(b_1=32-30=2\\b_2=32-24=8\\b_3=32\\q=\frac{b_2}{b_1}=\frac{8}{2}=4\\b_4=32\cdot4\\b_4=128\).
\(a_k=4k-31\\a_{k+1}=4(k+1)-31=4k-27\\a_{k+2}=4(k+2)-31=4k-23\)
Nowy ciąg
\(b_1=a_k+1=4k-30\\b_2=a_{k+1}+3=4k-24\\b_3=a_{k+2}+23=4k\\b_2^2=b_1\cdot\ b_2\\(4k-24)^2=(4k-30)\cdot\ 4k\\16k^2-192k+576=16k^2-120k\\72k=576\\k=8\)
\(b_1=32-30=2\\b_2=32-24=8\\b_3=32\\q=\frac{b_2}{b_1}=\frac{8}{2}=4\\b_4=32\cdot4\\b_4=128\).
-
skoczek-92
- Często tu bywam
- Posty: 178
- Rejestracja: 03 gru 2009, 15:53
- Podziękowania: 46 razy
Dziękuję za pomoc... Mam jeszcze kilka trudnych zadan... Co to znaczy, że ciag arytmetyczny jest skonczony? 1. Niech an bedzie ciagiem arytmetycznym skonczonym.
a) udowodnij, ze ak+an-k+1=a1+an gdzie 1<k<n i k nalezy do N
b) wiadomo, ze a4+a8+a12+a16=224. Znajdz sume dziewietnstu poczatkowych wyazow tego ciagu.
2. wiadomo, ze suma n poczatkowych wyrazow pewnego ciagu an wyraza sie wzorem Sn=2n(kwadrat)+3n
a)wyznacz wzor na yraz ogolny tego ciagu
b)wykaz, ze jest ciagiem arytmetycznym.
3. Niech (c1,c2,c3,c4,c5) bedzie ciagiem geometrycznym o wyrazach (c5,6c3,27c1) ciagiem arytmetycznym. Wynacz wszystkie mozliwe wartosci ilorazu ciagu cn.
a) udowodnij, ze ak+an-k+1=a1+an gdzie 1<k<n i k nalezy do N
b) wiadomo, ze a4+a8+a12+a16=224. Znajdz sume dziewietnstu poczatkowych wyazow tego ciagu.
2. wiadomo, ze suma n poczatkowych wyrazow pewnego ciagu an wyraza sie wzorem Sn=2n(kwadrat)+3n
a)wyznacz wzor na yraz ogolny tego ciagu
b)wykaz, ze jest ciagiem arytmetycznym.
3. Niech (c1,c2,c3,c4,c5) bedzie ciagiem geometrycznym o wyrazach (c5,6c3,27c1) ciagiem arytmetycznym. Wynacz wszystkie mozliwe wartosci ilorazu ciagu cn.
-
skoczek-92
- Często tu bywam
- Posty: 178
- Rejestracja: 03 gru 2009, 15:53
- Podziękowania: 46 razy
4.Wiadomo, ze miary katow wewnetrznych pewnego wielokata wypuklego tworza ciag arytmetyczny. Najwiekszy kat ma miare 171,a roznica 6 (stopni).
a) wyznacz liczbe bokow tego wielokata
b)ile przekatnych ma ten wielokat?
5. Liczby a, b, c tworzaw podanej kolejnosci ciag arytmetyczny o roznicy 5. Liczba a jest wielokrotnoscia liczby 5. Uzasadnij, ze iloczyn abc jest wielokrotnoscia 750.
a) wyznacz liczbe bokow tego wielokata
b)ile przekatnych ma ten wielokat?
5. Liczby a, b, c tworzaw podanej kolejnosci ciag arytmetyczny o roznicy 5. Liczba a jest wielokrotnoscia liczby 5. Uzasadnij, ze iloczyn abc jest wielokrotnoscia 750.
-
skoczek-92
- Często tu bywam
- Posty: 178
- Rejestracja: 03 gru 2009, 15:53
- Podziękowania: 46 razy
1.
Ciąg skończony ma skończoną ilość wyrazów.
a)
r- różnica ciągu
\(a_n=a_1+(n-1)r\\a_k=a_1+(k-1)r\\a_{n-k+1}=a_1+(n-k)r\\a_1+a_{n-k+1}=a_1+(k-1)r+a_1+(n-k)r=a_1+a_1+(k-1+n-k)r=a_1+a_1+(n-1)r=a_1+a_n\)
b)
\(a_4+a_8+a_{12}+a_{16}=224\\a_1+3r+a_1+7r+a_1+11r+a_1+15r=224\\4a_1+36=224\\a_1+9r=56\\a_{10}=56\)
\(S_{19}=\frac{a_1+a_{19}}{2}\cdot19=\frac{a_{10}-9r+a_{10}+9r}{2}\cdot19=\frac{2a_{10}}{2}\cdot19=a_{10}\cdot19\\S_{19}=19\cdot56=1064\)
Ciąg skończony ma skończoną ilość wyrazów.
a)
r- różnica ciągu
\(a_n=a_1+(n-1)r\\a_k=a_1+(k-1)r\\a_{n-k+1}=a_1+(n-k)r\\a_1+a_{n-k+1}=a_1+(k-1)r+a_1+(n-k)r=a_1+a_1+(k-1+n-k)r=a_1+a_1+(n-1)r=a_1+a_n\)
b)
\(a_4+a_8+a_{12}+a_{16}=224\\a_1+3r+a_1+7r+a_1+11r+a_1+15r=224\\4a_1+36=224\\a_1+9r=56\\a_{10}=56\)
\(S_{19}=\frac{a_1+a_{19}}{2}\cdot19=\frac{a_{10}-9r+a_{10}+9r}{2}\cdot19=\frac{2a_{10}}{2}\cdot19=a_{10}\cdot19\\S_{19}=19\cdot56=1064\)
2.
a)
\(a_n=S_n-S_{n-1}\\S_{n-1}=2(n-1)^2+3(n-1)\\a_n=2n^2+3n-2(n-1)^2-3(n-1)\\a_n=4n-5\)
b)
\(a_{n+1}=4(n+1)-5=4n-1\\a_{n+1}-a_n=4n-1-4n+5=4\)
Dla dowolnej naturalnej liczby n \(a_{n+1}-a_n=4\), jest to więc ciąg arytmetyczny o różnicy równej 4.
3.
q- iloraz ciągu geometrycznego
\(c_5=c_1q^4\\c_3=c_1q^2\\2\cdot6c_1q^2=c_1q^4+27c_1\ /:c_1\\q^4-12q^2+27=0\\(q^2-3)(q^2-9)=0\\q_1=\sqrt{3}\vee\ q_2=-\sqrt{3}\vee\ q_3=3\vee\ q_4=-3\)
a)
\(a_n=S_n-S_{n-1}\\S_{n-1}=2(n-1)^2+3(n-1)\\a_n=2n^2+3n-2(n-1)^2-3(n-1)\\a_n=4n-5\)
b)
\(a_{n+1}=4(n+1)-5=4n-1\\a_{n+1}-a_n=4n-1-4n+5=4\)
Dla dowolnej naturalnej liczby n \(a_{n+1}-a_n=4\), jest to więc ciąg arytmetyczny o różnicy równej 4.
3.
q- iloraz ciągu geometrycznego
\(c_5=c_1q^4\\c_3=c_1q^2\\2\cdot6c_1q^2=c_1q^4+27c_1\ /:c_1\\q^4-12q^2+27=0\\(q^2-3)(q^2-9)=0\\q_1=\sqrt{3}\vee\ q_2=-\sqrt{3}\vee\ q_3=3\vee\ q_4=-3\)
4.
a)
Suma kątów wewnętrznych wielokąta o n bokach wynosi \((n-2)\cdot180^0\)
\(S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot\ n=(n-2)\cdot180\\a_1=a_n-(n-1)r\\a_1=171-(n-1)\cdot6\\a_n=171\\\frac{2a_n-6(n-1)}{2}\cdot\ n=180(n-2)\\\frac{2\cdot171-6n+6}{2}\cdot\ n=180n-360\\171n-3n^2+3n=180n-360\\n^2+2n-120=0\\n_1=-12\vee\ n_2=10\)
Wielokąt ma 10 boków.
b)
wielokąt o n bokach ma \(\frac{n(n-3)}{2}\) przekątnych.
Dziesięciokąt ma więc
\(\frac{10\cdot7}{2}=35\) przekątnych.
a)
Suma kątów wewnętrznych wielokąta o n bokach wynosi \((n-2)\cdot180^0\)
\(S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot\ n=(n-2)\cdot180\\a_1=a_n-(n-1)r\\a_1=171-(n-1)\cdot6\\a_n=171\\\frac{2a_n-6(n-1)}{2}\cdot\ n=180(n-2)\\\frac{2\cdot171-6n+6}{2}\cdot\ n=180n-360\\171n-3n^2+3n=180n-360\\n^2+2n-120=0\\n_1=-12\vee\ n_2=10\)
Wielokąt ma 10 boków.
b)
wielokąt o n bokach ma \(\frac{n(n-3)}{2}\) przekątnych.
Dziesięciokąt ma więc
\(\frac{10\cdot7}{2}=35\) przekątnych.
5.
a=5k, gdzie k jest liczba całkowitą
b=5k+k=5(k+1)
c=5k+10=5(k+2)
\(750=125\cdot6\\abc=5k\cdot5(k+1)\cdot5(k+2)=125k(k+1)(k+2)\)
k(k+1)(k+2) to iloczyn trzech kolejnych liczb całkowitych. Wśród każdych trzech kolejnych liczb całkowitych jest co najmniej jedna liczba parzysta i dokładnie jedna podzielna przez 3. Iloczyn tych liczb dzielić się musi przez 6. Zatem iloczyn abc=125k(k+1)(k+2) dzieli się przez 750.
a=5k, gdzie k jest liczba całkowitą
b=5k+k=5(k+1)
c=5k+10=5(k+2)
\(750=125\cdot6\\abc=5k\cdot5(k+1)\cdot5(k+2)=125k(k+1)(k+2)\)
k(k+1)(k+2) to iloczyn trzech kolejnych liczb całkowitych. Wśród każdych trzech kolejnych liczb całkowitych jest co najmniej jedna liczba parzysta i dokładnie jedna podzielna przez 3. Iloczyn tych liczb dzielić się musi przez 6. Zatem iloczyn abc=125k(k+1)(k+2) dzieli się przez 750.
-
skoczek-92
- Często tu bywam
- Posty: 178
- Rejestracja: 03 gru 2009, 15:53
- Podziękowania: 46 razy
Jeśli dla dowolnego n ta różnica ma wartość dodatnią lub ujemną (czyli znak różnicy nie zależy od n), to ciąg jest monotoniczny. Jeśli znak tej różnicy zależy od n, to ciąg nie jest monotoniczny (n.p. dla n>3 jest ujemna, a dla 1, 2 i 3 dodatnia). Pamiętać tylko trzeba, że n jest dodatnią liczbą naturalną (n.p. jeśli ta różnica jest równa 3n, to znaczy, że różnica jest dodatnia i ciąg jest rosnący).
-
skoczek-92
- Często tu bywam
- Posty: 178
- Rejestracja: 03 gru 2009, 15:53
- Podziękowania: 46 razy