Ciągi- zadania

[skoczek-92]

Czy jest jakiś sposób na szybkie obliczenie sumy wszystkich liczb naturalnych n takich, że 100<(nieostro)n<200
b) sumy wszystkich liczb parzystych zawartych między 7 a 2007
c) sumy wszystkich liczb dwucyfrowych nieparzystych

[skoczek-92]

I: oblicz sumę wszyskich liczb niepodzielnych przez 3, które są:
a)dwucyfrowe
b)trzycyfrowe

[skoczek-92]

Niom, niestety, dodam jeszcze trochę pracy... Rozwiaż równanie: (1+x)+(2+3x)+(3+5x)+(4+7x)+...+(50+99x)=275
2. Zbadaj monotoniczność ciągu (an)
an=5+10+15+...+5n/n+3

[skoczek-92]

3.W ciągu arytmetycznym stosunek wyrazu szóstego do trzeciego jest równy 7, a suma jest równa 10. Jaki jest początkowy wyraz?

[Galen]

3)
a6 = a1 + 5r
a3 = a1 +2r
(a6)/(a3) =7 stąd 7*a3 = a6,co po podstawieniu wzorów na a3 i a6 daje równanie:
7*a1 + 14r = a1 +5r
3r = - 2a1,zatem r= -(2a1)/3
Podstawiam do wzoru na sumę: a6 + a3 = 10
2a1 + 7r =10
2a1 +7*[(-2a1)/3] =10
-8a1 = 30
a1 = -3,75----początkowy wyraz tego ciągu.

[anka]

Czy jest jakiś sposób na szybkie obliczenie sumy wszystkich liczb naturalnych n takich, że 100<(nieostro)n<200

Liczby tworzą ciąg arytmetyczny
\(a_1=101\)
\(r=1\)
\(a_n=a_1+(n-1)r=101+(n-1)\cdot1=101+(n-1)=101+n-1=100+n=199\)
Obliczam \(n\)
\(100+n=199\)
\(n=99\)
Suma tego ciągu to
\(S_{99}=\frac{a_1+a_{99}}{2}\cdot 99\)
\(S_{99}=\frac{101+199}{2}\cdot 99\)
\(S_{99}=\frac{300}{2}\cdot 99\)
\(S_{99}=150\cdot 99\)
\(S_{99}=14850\)

b) sumy wszystkich liczb parzystych zawartych między 7 a 2007
Liczby tworzą ciąg arytmetyczny
\(a_1=8\)
\(r=2\)
\(a_n=a_1+(n-1)\cdot r=8+(n-1)\cdot2=8+2n-2=2n+6=2006\)
Obliczam \(n\)
\(2n+6=2006\)
\(2n=2006-6\)
\(2n=2000\)
\(n=1000\)
Suma tego ciągu to
\(S_{1000}=\frac{a_1+a_{1000}}{2}\cdot 1000\)
\(S_{1000}=\frac{8+2006}{2}\cdot 1000\)
\(S_{1000}=2014\cdot 500\)
\(S_{1000}=1007000\)

c) podobnie

[anka]

I: oblicz sumę wszyskich liczb niepodzielnych przez 3, które są:
a)dwucyfrowe
b)trzycyfrowe

Tu mam pewien pomysł, tyle że nie wiem czy jest to najprostszy sposób.
Najpierw policzyłabym sumę wszystkich liczb dwucyfrowych
Potem sumę wszystkich liczb dwucyfrowych podzielnych przez 3 (czyli sumę ciągu \(a_1=12,r=3,a_n=99)\)
a potem to od siebie odjęła.

[skoczek-92]

Oki, dziękuję... Mam jeszcze jeden problem: W ciągu arytmetycznym składającym się z dziewięciu wyrazów, suma trzech pierwszych wyrazow równa się 15, a trzech następnych wynosi 42. Oblicz sumę trzech ostatnich wyraz,ow tego ciągu.
2. Pewien pan spłacił dług w wysokosci 5100 zl w dwunastu ratach, z których każda była mniejsza od poprzedniej o 50 zl. Ile wynosila pierwsza rata, a ile ostatnia?

[anka]

W ciągu arytmetycznym składającym się z dziewięciu wyrazów, suma trzech pierwszych wyrazow równa się 15, a trzech następnych wynosi 42. Oblicz sumę trzech ostatnich wyraz,ow tego ciągu.

\(a_1\)
\(a_2=a_1+r\)
\(a_3=a_1+2r\)
\(a_4=a_1+3r\)
\(a_5=a_1+4r\)
\(a_6=a_1+5r\)

suma trzech początkowych wyrazów ciągu
\(S_3=\frac{(a_1+a_3)}{2}\cdot3=\frac{(a_1+a_1+2r)}{2}\cdot3=\frac{2(a_1+r)}{2}\cdot3=3(a_1+r)=15\)
suma trzech następnych wyrazów ciągu
\(S_{(4,5,6)}=42\)
suma sześciu początkowych wyrazów ciągu
\(S_6=\frac{(a_1+a_6)}{2}\cdot6=3(a_1+a_1+5r)=3(2a_1+5r)=S_3+S_{(4,5,6)}=15+42=57\)

Z układu równań:
\(\{3(a_1+r)=15\\3(2a_1+5r)=57\)
obliczasz \(a_1\) i \(r\)

Liczysz \(S_9\)
suma dziewięciu wyrazów ciągu
\(S_9=\frac{(a_1+a_9)}{2}\cdot9=\frac{(a_1+a_1+8r)}{2}\cdot9=\frac{(2a_1+8r)}{2}\cdot9=\frac{2(a_1+4r)}{2}\cdot9=9(a_1+4r)\)

Liczysz sumę trzech ostatnich wyrazów ciągu
\(S_{(7,8,9)}=S_9-S_6=S_9-57\)

[anka]

2. Pewien pan spłacił dług w wysokosci 5100 zl w dwunastu ratach, z których każda była mniejsza od poprzedniej o 50 zl. Ile wynosila pierwsza rata, a ile ostatnia?

\(a_1\)
\(r=-50\)
\(a_{12}=a_1+11r=a_1+11\cdot(-50)=a_1-550\)
\(S_{12}=5100\)

\(S_{12}=\frac{a_1+a_{12}}{2}\cdot12=6(a_1+a_1-550)=6(2a_1-550)=5100\)

Liczysz \(a_1\)
\(6(2a_1-550)=5100\)

Potem \(a_{12}\)

[skoczek-92]

Spoko, mam już rozwiązania do tych dwóch ostatnich zadań.Troszkę pomyślałam... i jest ok.

[skoczek-92]

1.Dwie koparki pracując jednocześnie mogą wykonać prace w ciągu 12 dni. Jedna z koparek po 10 dniach zepsula się i prace dokonczono przy uzyciu drugiej koparki w ciagu 5 dni. Ile czasu potrzebuje kazda z koparek na wykonanie tej pracy samodzielnie?
2. Dwoch robotnikow wykonalo prace w ciagu 10 h. Gdyby pierwszy z nich wykonal 1/3 pracy, a nastepnie dugi dokonczyl reszte to zajeloby to im 25 h. W ciagu ilu h wykonalaby kazdy z tych pracownikow pracujac oddzielnie?
3.Wyznacz ciag arytmetyczny zlozony z 11 wyrazow, ktorych suma jest rowna 385. Wiadomo tez, ze ostatni z nich jest o 80% wiekszy od pierwszego.
4.Trzy liczby tworza ciag arytmetyczny. Suma tych liczb wynosi 6, a suma ich odwrotnosci -0,3. ZNajdz te liczby.

[irena]

1.
x - ilość dni, które potrzebuje I koparka na wykonanie pracy samodzielnie
y - ilość dni, które potrzebuje II koparka

\(\frac{1}{x}\) - część pracy, jaką I koparka wykona w jeden dzień

\(\frac{1}{y}\) - część pracy, jaką II koparka wykona w jeden dzień

\(\begin{cases}\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{12}\\10(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})+\frac{5}{y}=12(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})\end{cases}\\\begin{cases}\frac{x+y}{xy}=\frac{1}{12}\\\frac{5}{y}=2(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})\end{cases}\\\begin{cases}12(x+y)=xy\\\frac{5}{y}=\frac{2}{x}+\frac{2}{y}\end{cases}\\\begin{cases}12x+12y=xy\\\frac{3}{y}=\frac{2}{x}\end{cases}\)

\(\begin{cases}3x=2y\\12x+12y=xy\\\begin{cases}y=\frac{3}{2}x\\12x+18x=\frac{3}{2}x^2\end{cases}\\30x=\frac{3}{2}x^2\\\frac{3}{2}x=30\\\begin{cases}x=20\\y=30\end{cases}\)

[skoczek-92]

Dziekuję za ostatnie rozw. Proszę o pomoc w trzech pozostalych... Pozdrawiam.

[anka]

3.
\(a_1\)
\(a_{11}=a_1+10r\)
\(a_{11}=1,80a_1\)
\(S_{11}=385\)

\(S_{11}=\frac{a_1+a_{11}}{2}\cdot 11=\frac{a_1+1,80a_1}{2}\cdot 11=1,4a_1 \cdot 11=15,4a_1\)

\(\{a_1+10r=1,80a_1\\15,4a_1=385\)

4.
a,b,c - szukane liczby
\(\{b-a=c-b\\a+b+c=6\\ \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=-0,3\)

Sprawdź dane, by wyniki wychodzą nieciekawe.