Ciągi- zadania

[skoczek-92]

Pomocy! Mam kilka zadań i potrzebuje szybko rozwiązań... 1.Długości boków trójkąta prostokątnego tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy 3. Oblicz jego obwód.
2. Długości boków trójkąta prostokątnego tworzą ciąg arytmetyczny. Oblicz długości przyprostokątych, jeżeli przeciwprostokątna ma długość 10.
3. Wykaż, że długość boków trójąta prostokątnego tworzą ciąg arytmetyczny wtedy i tylko wtedy, gdy trójkąt ten jest podobny do trójkąta o bokach3, 4, 5. Pozdro

[anka]

1.
\(a,a+3,a+6\) - boki trójkąta (a>0)
\(a^2+(a+3)^2=(a+6)^2\)

2.
\(a,a+r,a+2r\) - boki trójkąta (a>0)
\(\{a^2+(a+r)^2=(a+2r)^2\\a+2r=10\)

[skoczek-92]

Dzięki wielkie!! Niestety, mam jeszcze jedno zadanie: Dane są wyrazy:a1, a2, a3 ciągu arytmetycznego. Wyznacz wyrazy a4 i a5. Określ monotoniczność tego ciągu w zależności od parametru m.
a) a1=4, a2=m+6, a3=2m+8
b) a1=1, a2=m^2, a3=2m^2-1
Plis, pomóżcie.

[anka]

3.
a, b, c - boki trójkąta
Ponieważ jest on podobny do trójkąta o bokach \(3,4,5\), więc zachodzi równość
\(\frac{a}{b}=\frac{3}{4} \Rightarrow b=\frac{4}{3}a\)
\(\frac{a}{c}=\frac{3}{5} \Rightarrow c=\frac{5}{3}a\)
czyli boki naszego trójkata to
\(a,\frac{4}{3}a,\frac{5}{3}a\)
Sprawdzamy czy tworzą ciąg arytmetyczny
\(\frac{4}{3}a-a=\frac{1}{3}a\)
\(\frac{5}{3}a-\frac{4}{3}a=\frac{1}{3}a\)
\(r=\frac{1}{3}a\) - ciąg jest arytmetyczny

[anka]

a) \(a_1=4, a_2=m+6, a_3=2m+8\)
\(a_1=4\\
a_2=a_1+r=4+r=m+6\\
a_3=a_1+2r=4+2r=2m+8\)

\(\{4+r=m+6\\4+2r=2m+8\)
\(r = m + 2\)

\(a_4=a_1+3r=4+3(m+2)=3m + 10\)
\(a_5=a_1+4r=4+4(m+2)=4m + 12\)

monotoniczność wiesz jak sprawdzić?

[skoczek-92]

Jesteś boska! Co do monotoniczności to wolałabym, zebys mi jednak to napisala, jezeli oczywiscie mozesz... Mniej wiecej wiem o co chodzi, ale wole sie upewnic...Dzieki

[skoczek-92]

Mam kolejne zadanie: wykaż, że jeżeli ciąg (an) jest ciągiem arytmetycznym, to ciąg (bn) też jest ciągiem arytmetycznym.
a) bn=3an+2
b)b=6- an+2/4
Proszę o pomoc.

[anka]

Wzór na ogólny wyraz cągu to
\(a_n=a_1+(n-1)r\)
czyli u nas
\(a_n=4+(n-1)(m+2)\)

badamy
\(a_{n+1}-a_n=4+[(n+1)-1](m+2)-[4+(n-1)(m+2)]=mn + 2n + 4-[mn - m + 2n + 2]=m+2\)

Ciąg jest malejący jeżeli \(a_{n+1}-a_n<0\), czyli
\(m+2<0\)
\(m<-2\)

Ciąg jest stały jeżeli \(a_{n+1}-a_n=0\), czyli
\(m+2=0\)
\(m=-2\)

Ciąg jest rosnący jeżeli \(a_{n+1}-a_n>0\), czyli
\(m+2>0\)
\(m>-2\)

[anka]

a)
\(a_n\) jest arytmetyczny, czyli \(a_{n+1}-a_n=r\)
\(b_{n+1}-b_n=(3a_{n+1}+2)-(3a_n+2)=3a_{n+1}+2-3a_n-2=3(a_{n+1}-a_n)=3r\)
\(r_1=3r\) - ciag jest arytmetyczny

[skoczek-92]

Mam nadzieję, że już ostatnie zadanie na dzisiaj: Oblicz pierwszy wyraz i różnicę ciągu arytmetycznego spełniającego podane warunki: a) a2+a4=22
a1/a5=21

[anka]

\(\{a_2+a_4=22\\ \frac{a_1}{a_5}=21\)

\(\{(a_1+r)+(a_1+3r)=22\\ \frac{a_1}{a_1+4r}=21\)

[skoczek-92]

Dziękuję bardzo za pomoc... Kolejne zadanie: Uzasadnij, że prawdziwa jest równość: 1+2+3+...+n=(n+1)n/2

[irena]

Utwórzmy dwa ciągi -

\((a_n)=1,2,3,...,n-1,n\) oraz

\((b_n)=n,n-1,n-2,...,2,1\).

Dodajmy teraz odpowiednio wyrazy tych ciągów: \(a_1+b_1,a_2+b_2,...,a_n+b_n\).

Zauważmy, że wszystkie te sumy są równe n + 1. Sum tych jest n. Więc łączna suma wszystkich wyrazów ciągu \((a_n)\) i ciągu \((b_n)\) jest równa n(n + 1).

Ale suma wszystkich wyrazów ciągu \((a_n)\) jest taka sama, jak suma wszystkich wyrazów ciągu \((b_n)\).

Zatem suma wszystkich wyrazów ciągu \((a_n)\) jest równa \(\frac{1}{2}n(n+1)\).

Czyli \(1+2+3+...+n=\frac{n(n+1)}{2}\)

[anka]

Indukcja była?

[skoczek-92]

Nie, indukcji jeszcze nie miałam... Dziękuję za pomoc...