Czy wie ktoś jak to można "szybko rozwiązać" \({x_1}^6+{x_2}^6+{x_3}^6\) wiedząc że:
\(\begin{cases} x_1+x_2+x_3=S_1 \\
x_1x_2+x_2x_3+ x_1x_3=S_2 \\
x_1x_2x_3=S_3\end{cases}\)
Nie obliczając \(x_1\),\(x_2\),\(x_3\) i uzależniając \({x_1}^6+{x_2}^6+{x_3}^6\) tylko od tych \(S_1\),\(S_2\),\(S_3\)
Wzory Vieta'a dla wielomianów trzeciego stopnia
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
Matematyk147
- Stały bywalec
- Posty: 531
- Rejestracja: 11 gru 2012, 20:21
- Podziękowania: 13 razy
- Otrzymane podziękowania: 192 razy
- Płeć:
-
octahedron
- Expert
- Posty: 6762
- Rejestracja: 19 mar 2011, 00:22
- Otrzymane podziękowania: 3034 razy
- Płeć:
\(x_1^6+x_2^6+x_3^6=(x_1^2)^3+(x_2^2)^3+(x_3^2)^3=
=(x_1^2+x_2^2+x_2^2)^3-3(x_1^2x_2+x_1^2x_3+x_1x_2^2+x_1x_3^2+x_2^2x_3+x_2x_3^2)-6x_1^2x_2^2x_3^2\)
\(x_1^2+x_2^2+x_2^2=(x_1+x_2+x_3)^2-2(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3)=S_1^2-2S_2\)
\(x_1^2x_2+x_1^2x_3+x_1x_2^2+x_1x_3^2+x_2^2x_3+x_2x_3^2=(x_1+x_2+x_3)(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3)-3x_1x_2x_3=
=S_1S_2-3S_3\)
\(x_1^6+x_2^6+x_3^6=(S_1^2-2S_2)^3-3(S_1S_2-3S_3)-6S_3^2\)
=(x_1^2+x_2^2+x_2^2)^3-3(x_1^2x_2+x_1^2x_3+x_1x_2^2+x_1x_3^2+x_2^2x_3+x_2x_3^2)-6x_1^2x_2^2x_3^2\)
\(x_1^2+x_2^2+x_2^2=(x_1+x_2+x_3)^2-2(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3)=S_1^2-2S_2\)
\(x_1^2x_2+x_1^2x_3+x_1x_2^2+x_1x_3^2+x_2^2x_3+x_2x_3^2=(x_1+x_2+x_3)(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3)-3x_1x_2x_3=
=S_1S_2-3S_3\)
\(x_1^6+x_2^6+x_3^6=(S_1^2-2S_2)^3-3(S_1S_2-3S_3)-6S_3^2\)