Równania różniczkowe 2

[wsl1993_]

\(1. y'=\frac{y}{x}ln\frac{y}{x}
2.y'=\frac{y^2}{xy-x^2}
3. y'=\frac{y^2}{x^2}-2\)

[radagast]

Myślę, że jak w każdym z tych przykładów podstawisz \(t= \frac{y}{x}\) to wyjdzie. Wypróbowałam tylko w a) ale myślę, że dla wszystkich to będzie skuteczne podstawienie . Powodzenia .

[wsl1993_]

\(t= \frac{y}{x}
\Rightarrow y=t \cdot x
y'=t'x+t
y'=\frac{y}{x}ln\frac{y}{x}
\Rightarrow
t'x+t=t \cdot lnt
\frac{dt}{dx} \cdot x+t=t \cdot lnt
\Rightarrow
\frac{dt}{dx} \cdot x=t \cdot lnt -t
\frac{dx}{x}=\frac{dt}{t(lnt-1)} / \int
\int \frac{dx}{x}=\int \frac{dt}{t(lnt-1)}\)
Idę w dobrym kierunku ?

[patryk00714]

tak jest! oto dokładnie chodzi!

[radagast]

Jeszcze ,że by Ci oszczędzić ewentualnego kłopotu, zapisałabym to tak:
\(\int \frac{1}{x}dx=\int \frac{ \frac{1}{t} }{(lnt-1)}dt\)
i teraz w obu funkcjach podcałkowych licznik jest pochodną mianownika

[wsl1993_]

\(t= \frac{y}{x}
\Rightarrow y=t \cdot x
y'=t'x+t
y'=\frac{y}{x}ln\frac{y}{x}
\Rightarrow
t'x+t=t \cdot lnt
\frac{dt}{dx} \cdot x+t=t \cdot lnt
\Rightarrow
\frac{dt}{dx} \cdot x=t \cdot lnt -t
\frac{dx}{x}=\frac{dt}{t(lnt-1)} / \int
\int \frac{dx}{x}=\int \frac{dt}{t(lnt-1)}
ln|x|-ln|C|=ln|lnt-1|
ln|x|-ln|C|=ln|ln\frac{y}{x}-1|\)
I teraz pytanie: mogę już tak zostawić, czy muszę wyznaczać z tego "y" ?

[radagast]

Ta zależy do czego Ci to potrzebne.

[wsl1993_]

\(y'=\frac{y^2}{xy-x^2}
t= \frac{y}{x}
\Rightarrow y=t \cdot x
y'=t'x+t
y'=\frac{y^2}{xy-x^2}=\frac{y^2}{x(y-x)}=\frac{y}{x} \cdot \frac{y}{y-x}
\Rightarrow
t'x+t=t \cdot \frac{tx}{tx-x}
t'x+t=t \cdot \frac{tx}{x(t-1)}= \frac{t^2}{(t-1)}
t'x+t=\frac{t^2}{(t-1)} \Rightarrow \frac{dt}{dx}x=\frac{t^2}{(t-1)}-t
\frac{dt}{dx}x=\frac{t^2-t^2+t}{(t-1)}
\int\frac{1}{x}dx=\int\frac{t-1}{(t)}dt
ln|x|=t-ln|t|+lnC
ln|x|=\frac{y}{x}-ln|\frac{y}{x}|+lnC\)
Podobnie tutaj...

[wsl1993_]

hm, potrzebne mi to kolokwium z matematyki p. profesor na ćwiczeniach powiedziała, że niekoniecznie rozwiązanie musi być wyprowadzone do "czystego" wyrażenia na "y". I właśnie nie jestem pewien, czy w zadaniach tego typu musiałbym jeszcze coś "powyciągać" z równania, czy mogę to tak zostawić.

[octahedron]

\(\ln|x|-\ln|C|=\ln\|\ln\frac{y}{x}-1\|
Cx=\ln\frac{y}{x}-1
\frac{y}{x}=e^{Cx+1}
y=xe^{Cx+1}\)


\(\ln|x|=\frac{y}{x}-\ln\|\frac{y}{x}\|-\ln|C|
\ln|x|=\frac{y}{x}-\ln|y|+\ln|x|-\ln|C|
\frac{y}{x}=\ln|Cy|
x=\frac{y}{\ln|Cy|}\)

[patryk00714]

ja zazwyczaj jak widzę tak zakopanego y-ka to go zostawiam w postaci uwikłanej. Przecież nie trzeba koniecznie go rozwikłać, żeby policzyć pochodną, zbadać ekstrema itp. Nie miałem tego na uczelni jeszcze, więc nie powiem Ci, jak to jest u mnie, ale ja osobiście nie widzę potrzeby zadawać sobie tyle trudu. Pomijając fakt, że czasami rozwikłać się po prostu nie da

[octahedron]

Jednak łatwiej się działa na postaci jawnej. Nie zawsze się da, ale akurat w tym przypadku to nie wymagało wiele trudu. Warto spróbować, za rozwikłanie funkcji nie odejmą punktów, a za brak mogą.