forum.zadania.info

W trójkąt równoboczny o boku x wpisano kwadrat. Oblicz pole tego kwadratu.

pole
(9X^2)/(3+2pierwiastki(3))^2

Narysuj trójkąt równoboczny ABC o boku x. Poprowadź wysokość CD opuszczoną na bok AB.
Narysuj kwadrat KLMN wpisany w trójkąt tak, żeby K leżał na DB, L leżał na BC, M leżał na AC, N leżał na AD.
Oznacz E- wspólny punkt CD i ML.
Trójkąty MLC i ABC są podobne- trójkąt MLC to trójkąt równoboczny.
a- bok kwadratu
\(|ML|=a\\|CD|=\frac{a\sqrt{3}}{2}\\|CE|=\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{x\sqrt{3}}{2}-a\\a\sqrt{3}=x\sqrt{3}-2a\\a(2+\sqrt{3})=x\sqrt{3}\ /\cdot(2-\sqrt{3})\\a(4-3)=x\sqrt{3}(2-\sqrt{3})\\a=x(2\sqrt{3}-3)\)

Pole kwadratu:
\(P=a^2\\P=x^2(12-12\sqrt{3}+9)=(21-12\sqrt{3})x^2\\P=3(7-4\sqrt{3})x^2\)