Mam do obliczenia ekstrema dwóch zmiennych, ale wychodzą mi pochodne cząstkowe z których nie umiem rozwiązać układu równań. Proszę o sprawdzenie czy dobrze obliczone są pochodne cząstkowe i pomoc rozwiązać układ równań, z góry pięknie dziękuję.
\(z = 2x^{3} + xy^{2} + 5x^{2} + y^{2}
\frac{ \partial z}{ \partial x} = 6x^{2} + y^{2} + 6x
\frac{ \partial z}{ \partial y} = 2xy + 2y
^{} \begin{cases} 6x^{2} + y^{2} + 6x =0\\ 2xy + 2y =0\end{cases}\)
Ekstrema dwóch zmiennych.
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
jola
- Expert
- Posty: 5246
- Rejestracja: 16 lut 2009, 23:02
- Podziękowania: 3 razy
- Otrzymane podziękowania: 1967 razy
- Płeć:
\(\frac{ \partial z}{ \partial x}=6x^2+y^2+10x\\ \frac{ \partial z}{ \partial y} =2xy+2y\)
\(\begin{cases}6x^2+y^2+10x=0\\2xy+2y=0 \end{cases}\ \ \ \Rightarrow \ \ \ \begin{cases}x=0\\y=0 \end{cases}\ \ \ \vee \ \ \begin{cases}x=- \frac{5}{3} \\y=0 \end{cases}\ \ \ \vee \ \ \ \begin{cases}x=-1\\y=2 \end{cases}\ \ \ \vee \ \ \begin{cases}x=-1\\y=-2 \end{cases}\)
\(\begin{cases}6x^2+y^2+10x=0\\2xy+2y=0 \end{cases}\ \ \ \Rightarrow \ \ \ \begin{cases}x=0\\y=0 \end{cases}\ \ \ \vee \ \ \begin{cases}x=- \frac{5}{3} \\y=0 \end{cases}\ \ \ \vee \ \ \ \begin{cases}x=-1\\y=2 \end{cases}\ \ \ \vee \ \ \begin{cases}x=-1\\y=-2 \end{cases}\)
-
Crazy Driver
- Fachowiec
- Posty: 1070
- Rejestracja: 07 maja 2010, 12:48
- Podziękowania: 2 razy
- Otrzymane podziękowania: 357 razy
Re: Ekstrema dwóch zmiennych.
Wydaje mi się, że powyżej może nie być jasne skąd się wzięły rozwiązania. Zapisujemy drugie równanie w postaci iloczynowej:
\(y(x+1)=0\)
\(y=0\quad\vee\quad x=-1\)
Wstawiamy \(y=0\) do pierwszego równania i szukamy \(x\). Stąd dwa rozwiązania, a dwa kolejne uzyskujemy po wstawieniu \(x=-1\) do pierwszego równania i wyliczeniu zeń \(y\).
\(y(x+1)=0\)
\(y=0\quad\vee\quad x=-1\)
Wstawiamy \(y=0\) do pierwszego równania i szukamy \(x\). Stąd dwa rozwiązania, a dwa kolejne uzyskujemy po wstawieniu \(x=-1\) do pierwszego równania i wyliczeniu zeń \(y\).
Korki z matmy, rozwiązywanie zadań
info na priv
info na priv
-
patryk00714
- Mistrz
- Posty: 8799
- Rejestracja: 13 mar 2011, 12:28
- Lokalizacja: Śmigiel
- Podziękowania: 92 razy
- Otrzymane podziękowania: 4450 razy
- Płeć:
tak, to są punkty podejrzane o ekstremum. Dalej liczymy pochodne drugiego rzędu. Potrzebne nam są one do macierzy Hessego.
mamy: \(\frac{ \partial^2 z}{ \partial ^2x}(x,y)=12x+10 \;\;\;\ \frac{ \partial^2 z}{ \partial ^2y}(x,y)=2x+2\)
\(\frac{ \partial^2 z}{ \partial y \partial x}(x,y)=\frac{ \partial^2 z}{ \partial x \partial y}(x,y)=2y\)
stąd mamy macierz: \(H_z(x,y)= \begin{bmatrix} 12x+10&2y\\2y&2x+2\end{bmatrix}\)
wstawiamy w nią punkty wyliczone z układu równań rozwiązanego przez Jolę i liczymy wyznacznik.
mamy: dla \((0,0)\)
\(H_z(0,0)= \begin{vmatrix} 10&0\\0&2\end{vmatrix}=20>0\) czyli istnieje ekstremum i jest nim minimum bo \(\frac{ \partial^2 z}{ \partial ^2x}(0,0)=10>0\)
dla \((-\frac{5}{3},0)\) mamy:
\(H_z(-\frac{5}{3},0)= \begin{vmatrix} -20&0\\0&-\frac{4}{3}\end{vmatrix}=\frac{80}{3}>0\) czyli jest tam ekstremum i jest to maximum bo \(\frac{ \partial^2 z}{ \partial ^2x}(-\frac{5}{3},0)=-20<0\)
podstaw sobie samodzielnie dwa pozostałe punkty
mamy: \(\frac{ \partial^2 z}{ \partial ^2x}(x,y)=12x+10 \;\;\;\ \frac{ \partial^2 z}{ \partial ^2y}(x,y)=2x+2\)
\(\frac{ \partial^2 z}{ \partial y \partial x}(x,y)=\frac{ \partial^2 z}{ \partial x \partial y}(x,y)=2y\)
stąd mamy macierz: \(H_z(x,y)= \begin{bmatrix} 12x+10&2y\\2y&2x+2\end{bmatrix}\)
wstawiamy w nią punkty wyliczone z układu równań rozwiązanego przez Jolę i liczymy wyznacznik.
mamy: dla \((0,0)\)
\(H_z(0,0)= \begin{vmatrix} 10&0\\0&2\end{vmatrix}=20>0\) czyli istnieje ekstremum i jest nim minimum bo \(\frac{ \partial^2 z}{ \partial ^2x}(0,0)=10>0\)
dla \((-\frac{5}{3},0)\) mamy:
\(H_z(-\frac{5}{3},0)= \begin{vmatrix} -20&0\\0&-\frac{4}{3}\end{vmatrix}=\frac{80}{3}>0\) czyli jest tam ekstremum i jest to maximum bo \(\frac{ \partial^2 z}{ \partial ^2x}(-\frac{5}{3},0)=-20<0\)
podstaw sobie samodzielnie dwa pozostałe punkty
Otrzymałeś odpowiedź do umieszczonego zadania? Podziękuj autorowi za rozwiązanie!!
\(\exp (i \pi) +1=0\)
\(\exp (i \pi) +1=0\)