forum.zadania.info

Poproszę o pomoc przy następujących zadaniach:
1 Wyznacz dziedzinę:
a) \(log(9-x^2)\)
b)\(log(9x^2-x)\)
2 Określ czy ciąg jest rosnący malejący czy stały:
a)an=\(\frac{n+1}{2n-1}\)
b) an=\(\frac{2n+1}{n-1}\)
c) an=\(\frac{2-n}{n+1}\)
d)an=\(\frac{2n-1}{n+1}\)
3 Oblicz pochodną funkcji:
f(x)=\(\sqrt{x} \cdot lnx\)
4 Granica ciągu:
a)\(\lim_{n\to \infty }=(1+ \frac{3n+5}{3n})^6^n\)
b) \(\lim_{x\to 3} = \frac{x-3}{ \sqrt{x^2+7}-4 }\)
5Oblicz całki:
a)\(\int_{}^{} \frac{ln}{x^2}dx\)
b)\(\int_{}^{} sinxe^c^o^s^x dx\)
6 Monotoniczność funkcji:
f(x)=\(\frac{5x^2}{3x}\)

Liczę na szczegółowe objaśnienie gdyż z matematyki radzę sobię niezbyt dobrze z góry dziękuję

1)

a)\(9-x^2=(3-x)(3+x)>0\)

stąd: \(x \in (-3,3)\)

b) \(9x^2-x=x(9x-1)>0\)

stąd: \(x \in (-\infty,0) \cup (\frac{1}{9},+\infty)\)

2) a)

\(a_{n+1}-a_n=\frac{n+2}{2n+1}- \frac{n+1}{2n-1}= \frac{(n+2)(2n-1)-(n+1)(2n+1)}{4n^2-1}= \frac{2n^2-n+4n-2-2n^2-n-2n-1}{4n^2-1}=\)

\(= \frac{-3}{4n^2-1}<0\)

stąd ciąg malejący.

2) \(n \neq 1\)

b) \(a_{n+1}-a_n= \frac{2n+3}{n}- \frac{2n+1}{n-1}= \frac{(2n+3)(n-1)-2n^2-n}{n^2-n}= \frac{2n^2-2n+3n-3-2n^2-n}{n^2-n}= \frac{-3}{n^2-n}<0\)

malejący

2 c)

\(a_{n+1}-a_n= \frac{1-n}{n+2}- \frac{2-n}{n+1}= \frac{1-n^2-4+n^2}{(n+2)(n+1)}= \frac{-3}{(n+2)(n+1)}<0\) malejący

2) d)

\(a_{n+1}-a_n= \frac{2n+1}{n+2}- \frac{2n-1}{n+1}= \frac{3}{(n+2)(n+1)} >0\)

rosnący

3) \(f(x)= \sqrt{x} lnx\)

\(f'(x)= (\sqrt{x})'lnx+\sqrt{x}(lnx)'=\frac{lnx}{2\sqrt{x}}+ \frac{\sqrt{x}}{x}\)

4) a) \(\lim_{n \to \infty} \left(1+ \frac{3n+5}{3n} \right)^{6n}=\lim_{n \to \infty} \left\{ \left[ \left( 1+ \frac{1}{ \frac{3n}{3n+5} } \right)^{\frac{3n}{3n+5}} \right]^{\frac{3n+5}{3n}} \right\}^{6n}=\lim_{n \to \infty}e^{ \frac{6n(3n+5)}{3n}}=\infty\)

4 b)

\(\lim_{x\to 3} \frac{x-3}{\sqrt{x^2+7}-4}=\lim_{x\to 3} \frac{(x-3)(\sqrt{x^2+7}+4)}{(\sqrt{x^2+7}-4)(\sqrt{x^2+7}+4)}=\lim_{x\to 3} \frac{(x-3)(\sqrt{x^2+7}+4)}{x^2+7-16}=\lim_{x\to 3} \frac{(x-3)(\sqrt{x^2+7}+4)}{x^2-9}=H=\)

\(= \lim_{x\to 3} \frac{\sqrt{x^2+7}+4+ \frac{x(x-3)}{\sqrt{x^2+7}} }{2x}= \frac{4+4+ \frac{3 \cdot 0}{4} }{6}= \frac{4}{3}\)

5) a) \(\int_{}^{} \frac{lnx}{x^2}dx= \int_{}^{} (-\frac{1}{x})'lnxdx=- \frac{lnx}{x}+ \int_{}^{} \frac{1}{x^2}dx=-\frac{lnx}{x}-\frac{1}{x}+C\)

b) \(\int_{}^{} sinxe^{cosx}dx= \begin{vmatrix} t=cosx\\dt=-sinxdx\end{vmatrix}=- \int_{}^{} e^tdt=-e^{cosx}+C\)

6) \(f(x)= \frac{5x^2}{3x}=\frac{5}{3}x \;\;\;\;\;\ x \neq 0\)

funkcja rosnąca na \(R \setminus \left\{ 0\right\}\), ale podejrzewam, że coś źle przepisałaś

Dziękuję ślicznie, możliwe że źle też mi się tak wydawało