forum.zadania.info

W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym długość krawędzi bocznej jest k razy większa od długości krawędzi podstawy. Wyznacz wszystkie wartości k, dla których długości krawędzi podstawy, przekątnej podstawy i przekątnej graniastosłupa są kolejnymi wyrazami rosnącego ciągu geometrycznego.

a - długość krawędzi podstawy
\(k\cdot a\) - długość krawędzi bocznej
\(p_p\\)- długość przekątnej podstawy
\(p_g\\)- długość przekątnej graniastosłupa

\(p_p=a\sqrt{2}\)

\(p_g^2=k^2a^2+2a^2\ \ \Rightarrow\ \ \ p_g^2=a^2(k^2+2)\ \ \ \Rightarrow\ \ \ \ p_g=a\sqrt{k^2+2}\)

\((a\ ,p_p\ ,\ p_g\ )\ \\)- ciąg geometryczny\(\ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{p_p}{a}=\frac{p_g}{p_p}\ \ \ i\ \ p_p=a\sqrt{2}\ \ \ i\ \ \ p_g=a\sqrt{k^2+2}\ \ \ \Rightarrow\ \ \ \frac{a\sqrt{2}}{a}=\frac{a\sqrt{k^2+2}}{a\sqrt{2}}\ \ \ \Rightarrow\\\)

\(\ \ \Rightarrow\ \ \ 2=\sqrt{k^2+2}\ \ \ \Rightarrow\ \ \ k^2+2=4\ \ \ \Rightarrow\ \ \ k^2=2\ \ \ \Rightarrow\ \ \ \ k=\sqrt{2}\ \ \ lub\ \ \ k=-\sqrt{2}\)

dziękuję uprzejmie