1.Znajdz jednocyfrowe liczby naturalne a dla których liczba a^10 +1 jest podzielna przez 10.
2.Znajdź jednocyfrowe liczby naturalne n, które są dzielnikami liczby postaci 2^n +1.
Potęga o wykładniku całkowitym;) Proszę o pomoc
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Zad. 1.
Liczba jest podzielna przez 10, jeśli ostatnią jej cyfrą jest 0. Zatem cyfrą jedności liczby a^10 musi być 9. Jeśli przeanalizujemy ostatnie cyfry kolejnych potęg liczb jednocyfrowych, to zaobserwujemy, że występuje tu pewna cykliczność. Oczywiście, liczba, której cyfrą jedności ma być 9, musi być liczbą nieparzystą.
1 - wszystkie potęgi tej liczby równe są 1
3 - ostatnie cyfry kolejnych potęg występują w cyklach 4-elementowych: 3, 9, 7, 1, więc 3^10 ma na końcu cyfrę 9
5 - wszystkie potęgi mają ostatnią cyfrę 5
7 - podobnie jak w przypadku liczby 3 - są tu 4-elementowe cykle: 7, 9, 3, 1, więc cyfrą jedności 7^10 jest 9
9 - cyfry jedności tworzą cykle 2-elementowe: 9, 1, więc 9^10 ma cyfrę jedności równą 1.
Zatem a = 3 lub a = 7.
Zad. 2.
Liczba 2^n + 1 dla naturalnego n jest liczbą nieparzystą. Poszukiwane liczby zatem muszą być nieparzyste. Sprawdźmy:
1: jest dzielnikiem każdej liczby
3: 2^3 + 1 = 9, więc 3 spełnia warunek zadania
5: 2^5 + 1 = 33, ta liczba nie spełnia warunku zadania
7: 2^7 + 1 = 129, 7 nie dzieli 129
9: 2^9 + 1 = 513, 5 + 1 + 3 = 9, więc liczba 9 dzieli 2^9 + 1.
Odp. Poszukiwane liczby to: n = 1 lub n = 3 lub n = 9.
Liczba jest podzielna przez 10, jeśli ostatnią jej cyfrą jest 0. Zatem cyfrą jedności liczby a^10 musi być 9. Jeśli przeanalizujemy ostatnie cyfry kolejnych potęg liczb jednocyfrowych, to zaobserwujemy, że występuje tu pewna cykliczność. Oczywiście, liczba, której cyfrą jedności ma być 9, musi być liczbą nieparzystą.
1 - wszystkie potęgi tej liczby równe są 1
3 - ostatnie cyfry kolejnych potęg występują w cyklach 4-elementowych: 3, 9, 7, 1, więc 3^10 ma na końcu cyfrę 9
5 - wszystkie potęgi mają ostatnią cyfrę 5
7 - podobnie jak w przypadku liczby 3 - są tu 4-elementowe cykle: 7, 9, 3, 1, więc cyfrą jedności 7^10 jest 9
9 - cyfry jedności tworzą cykle 2-elementowe: 9, 1, więc 9^10 ma cyfrę jedności równą 1.
Zatem a = 3 lub a = 7.
Zad. 2.
Liczba 2^n + 1 dla naturalnego n jest liczbą nieparzystą. Poszukiwane liczby zatem muszą być nieparzyste. Sprawdźmy:
1: jest dzielnikiem każdej liczby
3: 2^3 + 1 = 9, więc 3 spełnia warunek zadania
5: 2^5 + 1 = 33, ta liczba nie spełnia warunku zadania
7: 2^7 + 1 = 129, 7 nie dzieli 129
9: 2^9 + 1 = 513, 5 + 1 + 3 = 9, więc liczba 9 dzieli 2^9 + 1.
Odp. Poszukiwane liczby to: n = 1 lub n = 3 lub n = 9.