forum.zadania.info

Wewnątrz czworościanu którego wszystkie krawędzie mają taką samą długość, wybrano dowolnie punkt P. Wykaż, że suma odległości punktu P od wszystkich ścian bryły jest równa wysokości tego czorościanu.

Jeżeli połączycz punkt P z wierzchołkami czworościanu otrzymasz wewnątrz cztery ostrosłupy, których podstawami będą ściany danego ostrosłupa, czyli trójkąty równoboczne.
Odległość punktu P od ściany to wyskość powstałych ostrosłupów.

\(h_{1},h_{2},h_{3},h_{4}\) - wysokości ostrosłupów, których wierzchołkiem jest punkt P
\(V_{1},V_{2},V_{3},V_{4}\)-objętości powstałych ostrosłupów
\(H\)-wysokość danego czworościanu
\(V\)-objętość czworościanu
\(V= \frac{1}{3}P_{p}H\)
\(V=V_{1}+V_{2}+V_{3}+V_{4}\)
\(\frac{1}{3}P_{p}H =\frac{1}{3}P_{p}h_{1}+\frac{1}{3}P_{p}h_{2} +\frac{1}{3}P_{p}h_{3}+\frac{1}{3}P_{p}h_{4}\)
\(H=h_{1}+h_{2}+h_{3}+h_{4}\)