równania trygonometryczne

[liptontee]

1) 2sin^2x+cosx =2
2) 2sin^2x+7sinx=4
3) ctgx ≤ ctg1
4) cos^2x ≥ 1



Bardzo proszę o pomoc, dla niektórych pewnie to łatwe, ale nie dla mnie:(
Jeśli ktoś będzie tak dobry to proszę to rozwiązać:)
te dzióbki (tzn ^2) to znaczy do kwadratu:)

[domino21]

\(2\sin^2 x+\cos x=2
2(1-\cos^2 x)+\cos x-2=0
2-2\cos^2x+\cos x-2=0
-2\cos^2 x+\cos x=0
-2\cos x (\cos x-\frac{1}{2})=0
\cos x=0 \ \vee \ \cos x=\frac{1}{2}
x=\frac{\pi}{2}+k\pi, k\in C \ \ \vee \ \ x=\frac{\pi}{3} +2k\pi, k\in C \ \ \vee \ \ x=-\frac{\pi}{3} +2k\pi, k\in C\)

[domino21]

\(2\sin^2 x+7\sin x=4
2\sin^2 x+7\sin x-4=0\)

niech \(\ \sin x=t \ \wedge \ t\in<-1;1>\)

\(2t^2+7t-4=0
\Delta=49+32=81
\sqrt{\Delta}=\sqrt{81}=9
t_1=\frac{-7-9}{4}=-4 \ \not \in <-1;1>
t_2=\frac{-7+9}{4}=\frac{1}{2}\ \in <-1;1>
\sin x=\frac{1}{2}
x=\frac{\pi}{6}+2k\pi, k\in C \ \ \vee \ \ x=\frac{5\pi}{6}+2k\pi, k\in C\)

[domino21]

\(\cos^2x \geq 1
\cos^2 x-1 \geq 0
\cos x=t \ \wedge \ t\in <-1;1>
t^2-1\geq 0
(t-1)(t+1)\geq 0
(t \leq -1 \ \vee \ t\geq 1) \ \wedge \ t\in <-1;1>
t=1 \ \vee \ t=-1
\cos x=1 \ \vee \ \cos x=-1
x=2k\pi, k\in C \ \vee \ x={\pi}+2k\pi, k\in C
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x=k\pi, k\in C\)

[liptontee]

a w tym pierwszym zadaniu nie powinno być x=\frac{\pi}{2}+2k\pi, ??

[liptontee]

i dlaczego w tym ostatnim jest taki skrócony zapis że z dwóch iksów zapisałeś tylko jeden??

[domino21]

spójrz na wykres funkcji \(y=\cos x\)
\(\cos x=0 \ \Leftrightarrow \ x=\frac{\pi}{2} , \ x=\frac{3\pi}{2}, \ x=\frac{5\pi}{2} \ ...\) więc co \(\pi\)

co do drugiego zadania,
z pierwszego warunku rozwiązaniami będą: \(-4\pi,-2\pi ,0,2\pi, 4\pi, 6\pi\) itd...
a z drugiego: \(-2\pi,-\pi, 0, \pi, 2\pi, 3\pi, 4\pi\) itd..
więc z dwóch warunków wyjdzie jeden: \(x=k\pi\)