Odleglosc miedzy prostymi

[Faner]

mam takie 2 proste skosne i mam policzyc odleglosc miedzy nimi
\(l1: \begin{cases} x=1+2t \\ y = t \\ z = 2\end{cases}\)
\(ls: \begin{cases}x=3 \\ y=t \\ z = -t \end{cases}\)
Probowalem to w ten sposob ze pierwsze policzylem iloczyn wektorowy obu wektorow kierunkowych, a nastepnie dla kazdej prostejj wyznaczylem plaszczyzne w ktorej ona lezy i podstawilem do wzoru na odleglosc miedzy plaszczyznami. Mi wychodzi wynik liczac w ten sposob \(\frac{2\sqrt{6}}{3}\) a koledze wychodzi \(2\)/ Moglby ktos potwierdzic ktorys wynik ?

[radagast]

Mi wychodzi jeszcze inaczej: \(\sqrt{6}\) ale ja z rachunków , to cienka jestem
Potem zapiszę rozumowanie (to, które doprowadziło mnie do \(\sqrt{6}\) ) ale teraz sprzątam

[radagast]

No to tak:
\(l_1 \parallel \left[2,1,0 \right]\)
\(l_2 \parallel \left[0,1,-1 \right]\)
\(\left[2,1,0 \right] \times \left[0,1,-1 \right]= \left[-1,2,2 \right]\)

No to płaszczyna równoległa do obu prostych ma równanie \(-x+2y+2z+D=0\)
przy czym dla \(-x+2y+2z-3=0\) zawiera \(l_1\), a
przy czym dla \(-x+2y+2z+3=0\) zawiera \(l_2\)

odległość tych dwóch płaszczyzn to \(\frac{|-3-3|}{ \sqrt{(-1)^2+2^2+2^2} }= \frac{6}{ \sqrt{9} } =2\)

I jest to jednocześnie szukana odległość prostych skośnych.

No to jednak koledze dobrze wyszło, a my oboje pobłądziliśmy

[Faner]

Dzieki, juz znalazlem blad. Jak wyliczylem iloczyn wektorowy i zamiast zapisac \([-1,2,2 ]\) napisalem \([-1,2,1]\)

A jeszcze sie zastanawiam czy mozna zamiast wyznaczania 2 plaszczyzn po prostu wyznaczyc 1 plaszczyzne np prostej \(l1\) i dowolny punkt z prostej \(l2\) i skorzystac ze wzoru na odleglosc punktu od plaszczyzny ? Mozna tak?

[radagast]

Można.

[Faner]

Jescze mam pytanie, czy zamiast liczyc iloczyn wektorowy zeby dostac wektor prostopadly to dlaczego nie moge wymyslic wektora prostopadlego do \([2,1,0 ]\) dajmy na to np \([ -1,2,0]\) Iloczyn skalarny bedzie wynosic zero. I wtedy gdy chce wyznaczyc taka plaszczyzne to dostaje \(-x+2y+1=0\) i jak wezme dowolny punkt z drugiej prostej to juz nie dostane takiej odleglosci