Badanie przebiegu zmienności.

[wsl1993_]

Moglibyście wymienić co trzeba obliczać , najlepiej po kolei w badaniu przebiegu zmienności funkcji ?
I tutaj mam też pytanie.
Jest taki warunek, że funkcja ma w punkcie x ekstremum jeżeli jej pochodna w tym punkcie przyjmuje wartość zero. Ale niestety jest to tylko warunek konieczny. (przykład y=x^3)
Wystarczającym jest, że ta pochodna musi w tym punkcie x zmieniać znak.
I tutaj moje pytanie, czy np przy badaniu przebiegu zmienności ZAWSZE muszę badać, czy ta pochodna będzie zmieniać znak? I czy ogólnie jest to duży błąd jeśli o tym zapomnę. Pytam, bo wydawało mi się, że ćwiczeniowiec na ćwiczeniach nic nam nie powiedział o tym warunku :/ , a sam trafiłem na niego przypadkiem właśnie "bawiąc się" takimi prostymi funkcjami jak np x^3.

[Galen]

1)Dziedzina
2)Granice na krańcach przedziałów dziedziny
3)Punkty wspólne wykresu z osiami OX i OY
4)Asymptoty
5)Pochodna i jej dziedzina
6)Miejsca zerowe pochodnej
7)Znaki pochodnej
8)Ustalenie przedziałów monotoniczności i ekstremów.(do ekstremów funkcji różniczkowalnej warunkiem koniecznym
jest zerowanie się pochodnej,a wystarczającym zmiana znaku pochodnej)
9)Druga pochodna ijej miejsca zerowe oraz znaki.
10)Wklęsłość,wypukłość i punkty przegięcia.
11)Tabelka
12)Wykres.

Możesz ustalić ekstremum z f'(x)=0 i f''(x)>0 dla minimum
oraz f'(x)=0 i f''(x)<0 dla maksimum.
Samo zerowanie pochodnej nie wystarczy dla ekstremum.

[matirafal]

Jesli chodzi o maksimum lokalne bądź minimum lokalne to warty zapamietania jest fakt:
Minimum lokalne - pierwsza pochodna w tym punkcie zmienia znak z ujemnej na dodatnią
Maksimum lokalne - pierwsza pochodna w tym punkcie zmienia znak z dodatniej na ujemną
Oczywiście funkcja \(f(x)=x^3\) nie ma w punkcie \(x=0\) żadnego ekstremum, bo
\(f(x)'=3x^2\) i w punkcie \(x=0\) pochodna nie zmienia znaku.
Ale np \(f(x)=4x^2\) i wtedy \(f(x)'=8x\) i dla \(x=0\) pochodna zmienia znak
z ujemnej na dodatnią, co oznacza, że w punkcie \(x=0\) jest minimum lokalne.
Wystarczy zatem obliczyć tylko pierwszą pochodną.

[patryk00714]

jesli nie chcemy sprawdzac znaku pochodnej to mnie uczyli tak :

mamy punkt \(x_0\) podejrzany o ekstremum tzw punkt stacjonarny.

Liczymy pochodną drugiego rzędu i wychodzi zero... Zadajemy sobie pytanie i najczęściej badamy znak pochodnej. Ale jest inny sposób.

Jeżeli \(f"(x_0)=0\) to liczymymy

\(f'''(x_0) \begin{cases} >0 \;\;\;\ brak \;\ ekstremum \\ <0 \;\;\;\ brak \;\ ekstremum \\ =0 \;\;\;\ liczymy \;\;\ dalej\end{cases}\)

jeżeli \(f'''(x_0)\) to liczymy kolejną pochodną: \(f^{IV}(x_0)\begin{cases} >0 \;\;\;\ minimum \;\ lokalne\\ <0 \;\;\;\ maximum \;\ lokalne \\ =0 \;\;\;\ liczymy \;\;\ dalej\end{cases}\)

ogólnie mamy:

dla nie parzystych rzędów pochodnej: \(f^{2k-1}(x_0) \begin{cases} >0 \;\;\;\ brak \;\ ekstremum \\ <0 \;\;\;\ brak \;\ ekstremum \\ =0 \;\;\;\ liczymy \;\;\ dalej\end{cases} \;\;\;\;\ k\in Z\)

dla parzystych: \(f^{2k}(x_0)\begin{cases} >0 \;\;\;\ minimum \;\ lokalne\\ <0 \;\;\;\ maximum \;\ lokalne \\ =0 \;\;\;\ liczymy \;\;\ dalej\end{cases} \;\;\;\ k \in Z\)

oczywiście ten sposób ciągnie ze sobą dużo obliczeń i sprawdzenie ze zmianą znaku jest łatwiejsze. Ale warto wiedzieć, ze coś takiego jest

[wsl1993_]

Patryk, a skąd bierzemy ten punkt podejrzany? Mamy tak "na wyczucie" sprawdzać, czy jest jakaś z góry określona metoda ?

[patryk00714]

z równania \(f'(x)=0\), czyli do momentu wyznaczania punktu stacjonarnego liczymy normalnie.

[matirafal]

Jesli moge się wtrącić
Punkt podejrzany to taki, dla którego pierwsza pochodna wynosi 0, czyli
\(f(x)'=0\)