punkt przecięcia prostych z dwoma parametrami

[domczis]

Proste \(l: y=mx+n\) i \(k: y=nx+m\) są prostopadłe. Ich punkt przecięcia leży na prostej o równaniu \(y=-2x\). Wyznacz równania prostych \( l\) i \( k\)

[Galen]

Jeśli proste są prostopadłe,to iloczyn współczynników kierunkowych równa się (-1).
\(l\;:\;y=mx+n\;\;\;\;\;\;\;i\;\;\;\;\;\;\;\;k\;:\;y=nx+m\\
l \perp k\;\;\;\;\;to\;\;\;\;\;\;m\cdot n=-1\;\;\;czyli\;\;\;\;m= \frac{-1}{n}\)
Równania prostych:
\(l\;:\;y= \frac{-1}{n}x+n\;\;\;\;\;i\;\;\;\;\;k\;:\;y=nx+ \frac{-1}{n}\)
Wyznacz punkt (x;-2x) wspólny dla obu prostych.
\(nx- \frac{1}{n}= \frac{-1}{n}x+n\)
\(nx+ \frac{1}{n}x=n+ \frac{1}{n}\\
x(n+ \frac{1}{n})=n+ \frac{1}{n}\\
x=1\;\;\;\;\;\;to\;\;\;\;\;\;y=2\)
Podstaw do równania prostej l i oblicz n
\(2= \frac{-1}{n}\cdot 1+n\;/\cdot n\\
2n=-n+n^2\\
n^2-2n-1=0\\
\Delta =8=4\cdot 2 \;\;\;\;\;\; \sqrt{ \Delta }=2 \sqrt{2}\\
n_1=1- \sqrt{2}\;\;\;wtedy\;\;\;\;m_1= \frac{-1}{1- \sqrt{2} }=1+ \sqrt{2}\)
lub
\(n_2=1+ \sqrt{2}\;\;\;\;wtedy\;\;\;\;\;m_2=1- \sqrt{2}\)

Sprawdzisz łatwo,że w obu przypadkach \(m\cdot n=-1\)

[msdeaal]

mamy chyba mały błąd, powinno wyjść y=-2 prawda? wtedy delta wychodzi elegancko 0 i nie przejmujemy się "brzydkimi" wynikami

[Kaszalot1021]

Nie ma znaczenia czy y=2, czy y=-2 ,rachunki oraz wynik pozostaną takie same. Pamiętać też wstawić do równań obliczone n oraz m do prostych l i k.