punkt przecięcia prostych z dwoma parametrami

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
domczis
Rozkręcam się
Rozkręcam się
Posty: 30
Rejestracja: 13 gru 2012, 21:45
Podziękowania: 15 razy

punkt przecięcia prostych z dwoma parametrami

Post autor: domczis » 17 gru 2012, 16:28

Proste \(l: y=mx+n\) i \(k: y=nx+m\) są prostopadłe. Ich punkt przecięcia leży na prostej o równaniu \(y=-2x\). Wyznacz równania prostych \( l\) i \( k\)
Ostatnio zmieniony 09 maja 2020, 15:34 przez Jerry, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: poprawa wiadomości

Galen
Guru
Guru
Posty: 18336
Rejestracja: 17 sie 2008, 15:23
Podziękowania: 3 razy
Otrzymane podziękowania: 9102 razy

Post autor: Galen » 17 gru 2012, 16:51

Jeśli proste są prostopadłe,to iloczyn współczynników kierunkowych równa się (-1).
\(l\;:\;y=mx+n\;\;\;\;\;\;\;i\;\;\;\;\;\;\;\;k\;:\;y=nx+m\\
l \perp k\;\;\;\;\;to\;\;\;\;\;\;m\cdot n=-1\;\;\;czyli\;\;\;\;m= \frac{-1}{n}\)

Równania prostych:
\(l\;:\;y= \frac{-1}{n}x+n\;\;\;\;\;i\;\;\;\;\;k\;:\;y=nx+ \frac{-1}{n}\)
Wyznacz punkt (x;-2x) wspólny dla obu prostych.
\(nx- \frac{1}{n}= \frac{-1}{n}x+n\)
\(nx+ \frac{1}{n}x=n+ \frac{1}{n}\\
x(n+ \frac{1}{n})=n+ \frac{1}{n}\\
x=1\;\;\;\;\;\;to\;\;\;\;\;\;y=2\)

Podstaw do równania prostej l i oblicz n
\(2= \frac{-1}{n}\cdot 1+n\;/\cdot n\\
2n=-n+n^2\\
n^2-2n-1=0\\
\Delta =8=4\cdot 2 \;\;\;\;\;\; \sqrt{ \Delta }=2 \sqrt{2}\\
n_1=1- \sqrt{2}\;\;\;wtedy\;\;\;\;m_1= \frac{-1}{1- \sqrt{2} }=1+ \sqrt{2}\)

lub
\(n_2=1+ \sqrt{2}\;\;\;\;wtedy\;\;\;\;\;m_2=1- \sqrt{2}\)

Sprawdzisz łatwo,że w obu przypadkach \(m\cdot n=-1\)
Wszystko jest trudne,nim stanie się proste.

msdeaal
Witam na forum
Witam na forum
Posty: 1
Rejestracja: 21 mar 2015, 17:19
Płeć:

Re: punkt przecięcia prostych z dwoma parametrami

Post autor: msdeaal » 21 mar 2015, 17:21

mamy chyba mały błąd, powinno wyjść y=-2 prawda? wtedy delta wychodzi elegancko 0 i nie przejmujemy się "brzydkimi" wynikami :)

Kaszalot1021
Witam na forum
Witam na forum
Posty: 1
Rejestracja: 09 maja 2020, 14:14
Płeć:

Re: punkt przecięcia prostych z dwoma parametrami

Post autor: Kaszalot1021 » 09 maja 2020, 14:16

Nie ma znaczenia czy y=2, czy y=-2 ,rachunki oraz wynik pozostaną takie same. Pamiętać też wstawić do równań obliczone n oraz m do prostych l i k.