Asymptoty

[Dexous]

Jak wyznaczyc asymptoty takich funkcji

1)
\(f(x) = \frac{cos(\pi x)}{2^x-8}\)

2) \(f(x) = \frac{sin x}{x-\pi}\)

3) \(f(x) = x - arctg x\)

4) \(f(x) = \frac{sin^2 x}{x^3}\)

[eresh]

a z którymi granicami konkretnie masz problem?

[Dexous]

Konkretnie przy wyznaczaniu asymptot ukosnych

dochodze np do takiemu momentu i nie wiem co dalej zrobic
\(\lim_{x\to \infty } \frac{cos(\pi x)}{x(2^x-3)}\)

[Crazy Driver]

Najlepiej zacząć od asymptoty poziomej i stwierdzić, że skoro istnieje, to nie ma asymptoty ukośnej (lub, jak kto woli, jest i pokrywa się z poziomą).

Co do samej granicy, to licznik jest ograniczony, a mianownik dąży do...? Zatem całość dąży do...?

[Dexous]

Moglbys rozwinac co miales na mysli z ta asymptota pozioma ?

Zawsze robilem w ten sposob ze rownanie ukosnej to \(y = ax+b\)
i gdy wspolczynnik a wyszedl zero to asymptota byla pozioma

a wspolczynniki obliczalem z takiego wzoru
\(a= \lim_{x\to \pm \infty } \frac{f(x)}{x}\)

\(b = \lim_{x\to \pm \infty } f(x) - ax\)

tylko nie wiem jak obliczyc te granice

[Galen]

1)
cosinus ma wartości od -1 do 1.
Mianownik \(2^x-8\) nie może być zerem.
\(2^x\neq 8\\
2^x\neq 2^3\\
x\neq 3\)
\(\lim_{x\to 3_-} \frac{cos(\pix)}{2^x-8}= \frac{-1}{0_-}=+ \infty \\
\lim_{x\to 3_+} \frac{cos(\pi x)}{2^x-8}= \frac{-1}{0_+}=- \infty \\
asymptota\;\;pionowa\;\;\;\;x=3\)

\(a=\lim_{x\to \infty } \frac{f(x)}{x}= \lim_{x\to \infty }\; \frac{cos{(\pi\cdot x)}}{x(2^x-8)}= \frac{liczba\;skonczona}{+ \infty }=0\\
asymptota\;pozioma\;\;\;y=0\)
W minus nieskończoności jest analogicznie (iloraz liczby z przedziału <-1;1> przez nieskończoność) ,a=0.
Jak jest pozioma,to już nie ma ukośnej.

[Dexous]

Dzieki. Tylko czy to nie jest tak ze wspolczynnik b odpowiada za to jaka to by miala byc prosta pozioma. Gdyby wyszlo dajmy na to 5 w jakiejs funkcji i podstawimy do wzoru a i b to mamy \(y = 0 * x + b = 5\) ?

[Galen]

2)
\(f(x)=\frac{sinx}{x-\pi}\;\;\;\;\;\;\;\;x\neq \pi\)

\(\lim_{x\to \pi_-} \frac{sinx}{x-\pi}=( \frac{0}{0})\;H\;= \lim_{x\to \pi_-} \frac{cosx}{1}=-1\)
Analogicznie przy x dążącym do pi z prawej.
Brak asymptoty pionowej.
\(a= \lim_{x\to \infty } \frac{f(x)}{x}= \lim_{x\to \infty } \;\frac{sin x}{x(x-\pi)}= \frac{liczba\in<-1;1>}{ \infty }=0\)
Asymptota pozioma
\(y=0\)

[Galen]

Dzieki. Tylko czy to nie jest tak ze wspolczynnik b odpowiada za to jaka to by miala byc prosta pozioma. Gdyby wyszlo dajmy na to 5 w jakiejs funkcji i podstawimy do wzoru a i b to mamy \(y = 0 * x + b = 5\) ?

Popatrz na wzór dla b i podstaw za a liczbę zero.
\(b= \lim_{x\to \infty } (f(x)-ax)\;\;\;\;\;i\;\;\;\;a=0\\
b= \lim_{x\to \infty }f(x)\)

[Galen]

3)
\(f(x)=x-arc\;tgx\;\;\;\;\;\;\;\;D=R\)
Nie ma asymptoty pionowej.
\(a= \lim_{x\to + \infty } \frac{x-arc\;tgx}{x}=1\\
b= \lim_{x\to + \infty } [x-arctg x-x]= \lim_{x\to+ \infty }[-arc\;tg\;x ]= - \frac{\pi}{2}\)
Asymptota ukośna
\(y=x- \frac{\pi}{2}\)
Jeszcze w minus nieskończoności:
\(a= \lim_{x\to - \infty } \frac{x-arc tg x}{x}=1\\
b= \lim_{x\to - \infty }[x-arc tg x - x]= \lim_{x\to - \infty }[-arctgx]=-[- \frac{\pi}{2}]= \frac{\pi}{2}\)
Asymptota ukośna:
\(y=x+ \frac{\pi}{2}\)

[Dexous]

Dzieki. Tylko czy to nie jest tak ze wspolczynnik b odpowiada za to jaka to by miala byc prosta pozioma. Gdyby wyszlo dajmy na to 5 w jakiejs funkcji i podstawimy do wzoru a i b to mamy \(y = 0 * x + b = 5\) ?

Popatrz na wzór dla b i podstaw za a liczbę zero.
\(b= \lim_{x\to \infty } (f(x)-ax)\;\;\;\;\;i\;\;\;\;a=0\\
b= \lim_{x\to \infty }f(x)\)

no i wlasnie jak podstawimy to nie moze wyjsc inna granica niz 0 w przypadku jakiejsc innej funkcji ?

[Galen]

Zad.4
\(f(x)=\frac{sin^2x}{x^3}=\frac{sinx}{x}\cdot \frac{sinx}{x}\cdot \frac{1}{x}\)
\(D=R \setminus \left\{ 0\right\}\)
\(\lim_{x\to 0_-} \frac{sinx}{x} \cdot \frac{sinx}{x} \cdot \frac{1}{x}=1 \cdot 1 \cdot \frac{1}{0_-}=- \infty \\
\lim_{x\to 0_+}( \frac{sinx}{x} )^2 \cdot \frac{1}{x}=1 \cdot \frac{1}{0_+}=+ \infty \\
asymptota\;\;pionowa\;\;x=0\)
\(a= \lim_{x\to \infty } \frac{f(x)}{x}= \lim_{x\to \infty } \frac{sinx}{x^4}= \frac{liczba\in <-1;1>}{+ \infty }=0\\
asymptota \;\;pozioma\;\;y=0\)

[Dexous]

Czy mozna postepowac wedlug takiego schematu ?

1. Licze granice przy \(\lim_{x\to \infty } f(x)\)
a) gdy wyjdzie \(\pm \infty\) to moga byc asymptoty ukosne i licze wtedy wspolczynniki a i b i podstawiam do wzoru \(y= ax+b\)
b) gdy wyjdzie jakas liczba to wtedy nie ma asymptoty ukosnej i ta liczba jest jakby tym wspolczynnikiem b i wtedy asymptota ukosna to jest wlasnie ta wartosc

Dla \(- \infty\) analogicznie

[Galen]

To jest dobre rozumowanie.