Twierdzenie Talesa - wyznacz pole trójkąta

[PanKleks1]

Na jednym z boków trójkąta ABC obrano punkt P i poprowadzono przez nieco proste równoległe do pozostałych boków. Podzieliły one trójkąt na dwa trójkąty o polach \(S_1\) i \(S_2\) i równoległobok. Wyznacz pole trójkąta ABC w zależności od \(S_1\) i \(S_2\).

Odp.
\(( \sqrt{S_1}+\sqrt{S_2})^2\)

[josselyn]

h-wysokość I małego trójkąta
a-podstawa I małego trójkąta
x-wysokość II małego trójkąta
c-podstawa II małego trójkąta
x-wysokość równoległoboku
a-podstawa równolegloboku
h+x-wysokość dużego trójkąta
a+c-podstawa dużego trójkąta
\(S_1=0.5ah
a= \frac{2S_1}{h}
S_2=0.5cx
x= \frac{2S_2}{c}
P_D=0.5(h+x)(a+c)=0.5ah+0.5hc+0.5xa+0.5xc=S_1+S_2+0.5(hc+xa)
P_r=ax
P_D=S_1+S_2+P_r=S_1+S_2+0.5(hc+xa)
0.5(hc+xa)=ax/ \cdot 2
hc+ax=2ax
ax=hc
hc=\frac{2S_1}{h} \cdot \frac{2S_2}{c}
h^c^2=4S_1S_2
hc=2 \sqrt{S_1+S_2}
ax= 2\sqrt{S_1+S_2}
P_D=S_1+S_2+ 2\sqrt{S_1+S_2} =( \sqrt{S_1}+ \sqrt{S_2} )^2\)