Znajdz baze i wymiar przestrzeni wektorowej \(( A,+,R,*)\) gdzie \(A = { z1,z2,z3,z4 ) \in C^4 : z1+z2+z3=0 \wedge z1=z3\) Znajdz wspolrzedne wektora \((0,0,0,1+i)\) w tej bazie.
A wiec tak prosilbym o wytlumaczenie pewnej kwesti. Gdy tu sa stosowane takie oznaczenia jak
\(( A,+,R,*)\) oraz \(C^4\) jak to mam rozumiec dokladniej ?
na zajeciach mielismy cos takiego ze
\(dim C^n(C) = n\)
oraz
\(dim C^n(R) = 2n\)
Moglby ktos mi wyjasnic jak to mam rozumiec?
Doszedlem do tego ze z powyzszych rownosci idzie latwo wyznaczyc ze \(z2 = - 2 z3\)
Baza
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
octahedron
- Expert
- Posty: 6762
- Rejestracja: 19 mar 2011, 00:22
- Otrzymane podziękowania: 3034 razy
- Płeć:
\((A,+,R,*)\) to przestrzeń wektorów z \(A\) z mnożeniem przez liczby rzeczywiste \(R\). Wektory tej przestrzeni mają postać
\((z_1,-2z_1,z_1,z_4)=z_1\cdot (1,-2,1,0)+z_4\cdot (0,0,0,1)=(x_1+iy_1)\cdot(1,-2,1,0)+(x_4+iy_4)\cdot(0,0,0,1)=
=x_1\cdot\underbrace{(1,-2,1,0)}_{b_1}+y_1\cdot\underbrace{(i,-2i,i,0)}_{b_2}+x_4\cdot\underbrace{(0,0,0,1)}_{b_3}+y_4\cdot\underbrace{(0,0,0,i)}_{b_4}\)
Wymiar wynosi zatem \(4\). Gdybyśmy mieli \((A,+,C,*)\), to współczynniki mogłyby być zespolone, bazą byłyby wektory \((1,-2,1,0)\) i \((0,0,0,1)\), więc wymiar wynosiłby \(2\).
\((0,0,0,1+i)=b_3+b_4=(0,0,1,1)_b\)
\((z_1,-2z_1,z_1,z_4)=z_1\cdot (1,-2,1,0)+z_4\cdot (0,0,0,1)=(x_1+iy_1)\cdot(1,-2,1,0)+(x_4+iy_4)\cdot(0,0,0,1)=
=x_1\cdot\underbrace{(1,-2,1,0)}_{b_1}+y_1\cdot\underbrace{(i,-2i,i,0)}_{b_2}+x_4\cdot\underbrace{(0,0,0,1)}_{b_3}+y_4\cdot\underbrace{(0,0,0,i)}_{b_4}\)
Wymiar wynosi zatem \(4\). Gdybyśmy mieli \((A,+,C,*)\), to współczynniki mogłyby być zespolone, bazą byłyby wektory \((1,-2,1,0)\) i \((0,0,0,1)\), więc wymiar wynosiłby \(2\).
\((0,0,0,1+i)=b_3+b_4=(0,0,1,1)_b\)