Indukcja

[Dexous]

Mam do udowodnienia indukcyjnie taki wzor zachodzacy pomiedzy liczbami stirlinga 2 rodzaju ( niestety nie wiem jak zapisac to za pomoca Latexa to liczby stirlinga bede pisac jako taka mala macierz)

\(\begin{bmatrix} n \\ n-2 \end{bmatrix} = { n \choose 3}+ { n \choose 4}*4\)

I probowalem to zrobic w taki sposob :
Pierwszy krok indukcyjny jest prawdziwy wiec mamy zalozenie
Zal indukcyjne : \(\begin{bmatrix} n \\ n-2 \end{bmatrix} = { n \choose 3}+ { n \choose 4}*4\)
Tw : \(\begin{bmatrix} n+1 \\ n-1 \end{bmatrix} = { n+1 \choose 3}+ { n+1 \choose 4}*4\)

Wychodzac od lewej strony i korzystajac ze wzoru rekurencyjnego mam cos takiego
\(\begin{bmatrix} n+1 \\ n-1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} n \\ n-2 \end{bmatrix} + (n-1) \begin{bmatrix} n \\ n-1 \end{bmatrix}\)
Korzystam teraz z zalozenia oraz ze \(\begin{bmatrix} n \\ n-1 \end{bmatrix} = { n \choose 2}\)
mam cos takiego
\(\begin{bmatrix} n+1 \\ n-1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} n \\ n-2 \end{bmatrix} + (n-1) \begin{bmatrix} n \\ n-1 \end{bmatrix} = { n \choose 3}+ { n \choose 4}*4 + (n-1) { n \choose 2}\)
I tu mi sie pojawia problem jak doprowadzic to do konca, zeby udowodnic twierdzenie

[anka]

No to coś jest nie tak, bo
\({ n+1 \choose 3}+ { n+1 \choose 4}*4 \neq { n \choose 3}+ { n \choose 4}*4 + (n-1) { n \choose 2}\)

[Dexous]

a widzisz moze gdzie moglby byc blad bo nie bardzo potrafie znalezc?

[anka]

Tez wzór rekurencyjny jest na pewno dobry?

[Dexous]

wedlug wikipedi tak

[anka]

Gdzie go masz? Szukałam go wczesniej, ale nie znalazłam.

[Dexous]

http://pl.wikipedia.org/wiki/Liczby_Sti ... II_rodzaju

[anka]

Nie powinno czasem być:
\(\begin{bmatrix} n+1 \\ n-1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} n \\ n-2 \end{bmatrix} + n \begin{bmatrix} n \\ n-1 \end{bmatrix}\)

?

[Dexous]

Przeciez tam we wzorze k to jest to na dole a u nas ta role pelni n-1 to dlaczego pozniej by mialo byc samo n ? Nie rozumie

[anka]

Ale tam w nawiasie masz (n-1) a u nas zamiast n jest n+1

[anka]

Oj to I rodzaju

Nie mogę znalezć błędu

[Dexous]

ok moze ktos inny da rade. I tak dzieki za pomoc