wnętrza zbioru
: 26 paź 2009, 17:39
udowodnij ze
int(\(A_{1} \cap A_{2}\))=int\(A_{1} \cap\)int\(A_{2}\)
int(\(A_{1} \cap A_{2}\))=int\(A_{1} \cap\)int\(A_{2}\)
Pokażemy, że \(int(A_1\cap A_2)\subset int(A_1)\cap int(A_2)\). Niech \(x\in int(A_1\cap A_2)\)
Wówczas istnieje zbiór otwarty U taki, że \(x\in U\) i \(U\subset A_1\cap A_2\). Stąd \(U\subse A_1\) i \(U\subset A_2\), czyli \(x\in int(A_1)\cap int(A_2)\).
Niech \(x\in int(A_1)\cap int(A_2)\). Wówczas instnieje U otwarty taki, że \(x\in U\), \(U\subset A_1\) i \(U\subset A_2\). Stąd \(U\subset A_1\cap A_2\), czyli \(x\in int(A_1\cap A_2)\). Co oznacza, że \(int(A_1\cap A_2)\supset int(A_1)\cap int(A_2)\)