Postac trygonometryczna l. zespolonej

[black_exige]

Witam, mam problem z tym zadaniem, Przedastawic w postaci trygonometrycznej..
\(Z= -2+5i\)
wychodzą masakryczne liczby cos \(\frac{-2\sqrt{29}}{29}\) i sin \(\frac{5\sqrt{29}}{29}\) i moduł \({\sqrt{29}\)

Co robię nie tak ? postępuje tak samo jak z innymi przykladami a ten nie wychodzi

[Crazy Driver]

Jest ok.
http://www.wolframalpha.com/input/?i=-2%2B5i

[black_exige]

No tak. Ale wynik muszę przedstawić w postaci takiej np. w innych przykladach wychodzilo elegancko
\(2(coss\frac{ \pi }{4} , isin\frac{ \pi }{4})\) ale przy tym nie wiej jak taki masakryczny wynik przedstawic we wspomniany sposob ; /

[Crazy Driver]

Ale przecież widzisz, że argument tej liczby zespolonej to nie jest jakiś ładny kąt, jak podane przez Ciebie \(45^\circ\).

[Crazy Driver]

A jeśli już musisz podać argument tej liczby, to nie obejdzie się bez funkcji cyklometrycznych.

[black_exige]

Dokladnie. Własnie tak mam to zrobić, ale nie mogę się dokopać nigdzie jak zrobić to za pomocą f. cyklometrycznych, jedynie bazuje na jednym przykladzie z zeszytu. Czy to nie będzie tak ?

\(\sqrt{29}(cos(arcsin( \frac{5 \sqrt{29} }{29}))+isin(arcsin( \frac{5 \sqrt{29} }{29}))\)

[Crazy Driver]

Prawie. Zauważ, że jeśli \(\theta\) jest argumentem głównym, to \(\sin\theta>0>\cos\theta\), a więc \(\theta\in\left(\frac\pi2,\pi\right)\). A ponieważ \(\arcsin:\ [-1,1]\to\left[-\frac\pi2,\frac\pi2\right]\), \(\arcsin\frac{5\sqrt{29}}{29}\) jest kątem należącym do pierwszej ćwiartki układu i jej cosinus jest dodatni. Potrzebujemy więc kąta \(\pi-\arcsin\frac{5\sqrt{29}}{29}\). Wtedy jego sinus i cosinus będzie równy tyle, ile trzeba i to jest nasz argument główny.

PS: Nieco ładniej wygląda ten argument zapisany przy pomocy innej funkcji

\(\textrm{tg}\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}=-\frac52\quad\Leftrightarrow\quad \theta=\textrm{arctg}\left(-\frac52\right)=-\textrm{arctg}\frac52\). Przy czym to jest kąt między \(-\frac\pi2\), a \(0\), więc żeby wskoczyć w argument główny, musimy dorzucić \(\pi\).