Znaleźć wszystkie macierze kwadratowe

[aqlec]

Znaleźć wszystkie macierze kwadratowe wymiary 2x2 dla których
a) kwadrat jest macierzą zerową
b) kwadrat jest macierzą jednostkową

[Crazy Driver]

Zrobię b)

Jeśli chodzi o potęgowanie macierzy najlepiej korzystać z postaci Jordana. Niech \(A\) będzie szukaną macierzą i niech \(J\) będzie macierzą Jordana podobną do \(A\). Wówczas istnieje taka odwracalna macierz \(C\), że \(A=C^{-1}JC\) i
\(A^2=C^{-1}J^2C=I\)

Dalej należałoby wyznaczyć postać Jordana \(I\), ale jest to macierz diagonalna, więc jej postać Jordana to po prostu ona sama. W takim razie \(C=C^{-1}=I\) i macierz \(A\) również jest postaci Jordana. Pozostaje więc znaleźć taką macierz w postaci Jordana, której kwadrat jest równy \(I\). na przekątnej takiej macierzy możemy mieć dowolną konfigurację jedynek i minus jedynek. Wypiszmy więc wszystkie możliwe macierze \(2\times2\) w postaci Jordana, które mają na przekątnej \(1\) lub \((-1)\):

\(A_1=\left[\begin{array}{cc}1&0\\0&1\end{array}\right],\qquad A_2=\left[\begin{array}{cc}-1&0\\0&1\end{array}\right],\qquad A_3=\left[\begin{array}{cc}1&0\\0&-1\end{array}\right],\qquad A_4=\left[\begin{array}{cc}-1&0\\0&-1\end{array}\right]\)

\(A_5=\left[\begin{array}{cc}1&1\\0&1\end{array}\right],\qquad A_6=\left[\begin{array}{cc}-1&1\\0&1\end{array}\right],\qquad A_7=\left[\begin{array}{cc}1&1\\0&-1\end{array}\right],\qquad A_8=\left[\begin{array}{cc}-1&1\\0&-1\end{array}\right]\)

Pierwsze cztery macierze są diagonalne, a więc istotnie dla każdej z nich \(A_i^2=I\).
Pozostałe macierze nie daje w kwadracie \(I\), co można sprawdzić bezpośrednim rachunkiem, lub korzystając ze wzoru na potęgowanie klatki Jordana.

Znaleźliśmy zatem wszystkie takie macierze, że \(A^2=I\) (nie ma ich więcej, bo gdyby była jeszcze jakaś, kwadrat jej postaci Jordana również musiałby dać \(I\), a już zbadaliśmy wszystkie takie przypadki).

Drugi podpunkt można robić podobnie.