punkty...są trzema kolejnymi...

[martulka1222]

Punkty A=(9,-4) B=(11,0) C(-1,6) są trzema kolejnymi wierzchołkami prostokata ABCD
a) wyznacz współrzędne wierzchołka D
b) oblicz Pole i L prostokąta ABCD
c) wyznacz współrzędne środka O i obl długość promienia R okręgu opisanego na tym prostokącie
d) obl cos alfa jaki tworzy przekatna prostokata z krótszym jego bokiem
e) napisz równanie osi symetrii prostokata

[irena]

a)

\(D=(a, b)\\\vec{DA}=\vec{CB}\\\vec{DA}=[9-a;\ -4-b]\\\vec{CB}=[11+1;\ 0-6]=[12;\ -6]\\\{9-a=12\\-4-b=-6\)

\(\{a=-3\\b=2\)

\(D=(-3;\ 2)\)

b)

\(|AB|=\sqrt{(11-9)^2+(0+4)^2}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}\\|BC|=\sqrt{(11+1)^2+(0-6)^2}=\sqrt{144+36}=\sqrt{180}=6\sqrt{5}\)

\(P=2\sqrt{5}\cdot6\sqrt{5}=60\\L=2\cdot2\sqrt{5}+2\cdot6\sqrt{5}=16\sqrt{5}\)

[irena]

c)

O- środek przekątnej AC

\(O=\(\frac{9-1}{2};\ \frac{-4+6}{2}\)=(4;\ 1)\)

\(|AC|=\sqrt{(9+1)^2+(-4-6)^2}=\sqrt{100+100}=\sqrt{200}=10\sqrt{2}\\R=\frac{1}{2}\cdot10\sqrt{2}=5\sqrt{2}\)

[irena]

d)
\(cos\alpha=\frac{2\sqrt{5}}{10\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{10}}{10}\)

[irena]

e)
K- środek boku AB
L- środek boku CD

\(K=\(\frac{9+11}{2};\ \frac{-4+0}{2}\)=(10;\ -2)\\L=\(\frac{-3-1}{2};\ 2+6}{2}\)=(-2;\ 4)\)

Prosta KL:
\(\frac{y-4}{x+2}=\frac{-2-4}{10+2}\\\frac{y-4}{x+2}=-\frac{1}{2}\\2y-8=-x-2\\x+2y-6=0\)

M- środek boku AD:
\(M=\(\frac{9-3}{2};\ \frac{-4+2}{2}\)=(3;\ -1)\)

Druga oś symetrii jest prostopadła do KL i przechodzi przez M
\(2x-y+k=0\\2\cdot3-(-1)+k=0\\k=-7\\2x-y-7=0\)

[denatlu]

Jak rozróżnić, czy \(\vec{ DA}=\vec{CB}\) czy \(\vec{DA}=\vec{BC}\) ?

[Matematyk_64]

Stawiam na to, że zgodnie z założeniami zadania punkty A,B,C są kolejnymi wierzchołkami prostokąta. D musi być następny w kolejności stąd wektory
\(\vec{BC}\) i \(\vec{DA}\) muszą mieć przeciwne zwroty i równość podana przez irenę jest wówczas jak najbardziej prawidłowa.

[denatlu]

Dobra już wiem o co chodzi, źle narysowałem i wyszło mi że to przekątne są \(\vec{BC}, \vec{AD}\)