Odwracanie macierzy układy równań macierzowych

[radekkorzeb]

korzystając z transpozycji macierzy oraz własności macierzy odwrotnych, w szczególności ze wzoru \(A^{-1}\)=\([b_i_j]\)\(_n_x_n\) , gdzie \(b_i_j\)= \(\frac{A_i_j}{detA}\) , \(A_i_j\) jest algebraicznym dopełnieniem do elementu \(a_i_j\) macierzy a=[\(a_i_j\)] , znaleźć macierze odwrotne do podanych :
A=\(\begin{bmatrix}a& b\\ c&d\end{bmatrix}\)

A=\(\begin{bmatrix}0& 0&1 \\ 0&1&0\\1&0&0 \end{bmatrix}\)

A=\(\begin{bmatrix}1& -2&3 \\ 3&1&4\\2&5&1 \end{bmatrix}\)

A=\(\begin{bmatrix}1& 3&2 \\ -2&1&5\\3&4&1 \end{bmatrix}\)

Proszę o same wyniki nie jestem pewien o poprawność moich rozwiązań, z góry dziękuję za pomoc.

[patryk00714]

a) \(\begin{vmatrix} a&b\\c&d\end{vmatrix}=ad-bc\)

i teraz:

\(a_{11}=d\;\;\;\;\;\ a_{12}=-c \;\;\;\;\;\ a_{21}=-b \;\;\;\;\ a_{22}=a\)

\(A^{-1}= \frac{1}{ad-bc} \begin{vmatrix} d&-c\\-b&a\end{vmatrix}^T=\frac{1}{ad-bc} \begin{vmatrix} d&-b\\-c&a \end{vmatrix}= \begin{vmatrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc} \end{vmatrix}\)

[patryk00714]

ups sorky, miały być same wyniki. To podaje resztę. Nazwałem macierze alfabetycznie od góry:

\(B^{-1}= \begin{vmatrix} 0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{vmatrix}\)

\(C^{-1}= \begin{vmatrix} -\frac{19}{17}& \frac{17}{10}& - \frac{11}{10}\\ \frac{1}{2} & -\frac{1}{2}& \frac{1}{2}\\ \frac{13}{10}& -\frac{9}{10}& \frac{7}{10} \end{vmatrix}\)

\(D^{-1}= \begin{vmatrix} -\frac{19}{10} & \frac{1}{2} & \frac{13}{10}\\ \frac{17}{10}& -\frac{1}{2}& -\frac{9}{10} \\ -\frac{11}{10}& \frac{1}{2}& \frac{7}{10} \end{vmatrix}\)