Wyznacz równanie krzywej będącej zbiorem środków wszystkich cięciw paraboli
\(y=x^{2}-2\) przechodzących przez początek układu współrzędnych.
Równanie krzywej
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
radagast
- Guru
- Posty: 17555
- Rejestracja: 09 lis 2010, 07:38
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękowania: 41 razy
- Otrzymane podziękowania: 7436 razy
- Płeć:
Cięciwa przechodząca przez początek układu współrzędnych jest zawarta w prostej o równaniu \(y=ax\)
Wyznaczmy zbiór końców tych cięciw:
\(\begin{cases}y=x^2-2\\y=ax \end{cases}\)
\(x^2-ax-2=0\)
\(\begin{cases}x_1= \frac{a- \sqrt{a^2+8} }{2} \\y_1= \frac{a^2- a\sqrt{a^2+8} }{2} \end{cases}\); \(\begin{cases}x_2= \frac{a+ \sqrt{a^2+8} }{2} \\y_2= \frac{a^2+ a\sqrt{a^2+8} }{2} \end{cases}\)
zbiór środków takich odcinków ma przedstawienie parametryczne \(p(a)=\left( \frac{\frac{a- \sqrt{a^2+8} }{2}+\frac{a+ \sqrt{a^2+8} }{2}}{2} ,\frac{\frac{a^2- a\sqrt{a^2+8} }{2}+\frac{a^2+ a\sqrt{a^2+8} }{2}}{2} \right)= \left( \frac{a}{2} ,\frac{a^2}{2}\right)\)
Jest to po prostu parabola \(y=2x^2\)
Wyznaczmy zbiór końców tych cięciw:
\(\begin{cases}y=x^2-2\\y=ax \end{cases}\)
\(x^2-ax-2=0\)
\(\begin{cases}x_1= \frac{a- \sqrt{a^2+8} }{2} \\y_1= \frac{a^2- a\sqrt{a^2+8} }{2} \end{cases}\); \(\begin{cases}x_2= \frac{a+ \sqrt{a^2+8} }{2} \\y_2= \frac{a^2+ a\sqrt{a^2+8} }{2} \end{cases}\)
zbiór środków takich odcinków ma przedstawienie parametryczne \(p(a)=\left( \frac{\frac{a- \sqrt{a^2+8} }{2}+\frac{a+ \sqrt{a^2+8} }{2}}{2} ,\frac{\frac{a^2- a\sqrt{a^2+8} }{2}+\frac{a^2+ a\sqrt{a^2+8} }{2}}{2} \right)= \left( \frac{a}{2} ,\frac{a^2}{2}\right)\)
Jest to po prostu parabola \(y=2x^2\)