Rowananie zespolone

[Faner]

Mam takie rownanie zespolone
\(z^4+2z^3+9z^2+8z+20=0\)
i wiadomo ze jednym rozwiazaniem jest \(2i\)
rozlozylem to na czynniki ale nie wiem co dalej
\((z-2i)(z^3+2iz^2+2z^2+4iz+5z+10i)\)

[irena]

\(=(z-2i)[z^2(z+2i)+2z(z+2i)+5(z+2i)]=0\\(z-2i)(z+2i)(z^2+2z+5)=0\\\Delta=4-20=-16\\\sqrt{\Delta}=4i\\z=\frac{-2-4i}{2}=-1-2i\ \vee\ z=\frac{-2+4i}{2}=-1+2i\\z_1=2i\ \vee\ z_2=-2i\ \vee\ z_3=-1-2i\ \vee\ z_4=-1+2i\)

[Faner]

Dzieki, mozna wiedziec jak do tego doszlas? Z twierdzenia Bezoute ?

[irena]

Nie- stosowałam tu metodę grupowania wyrazów, stosowaną już w ogólniaku. A później już to rozwiązywanie równania kwadratowego.

[Faner]

Ok juz teraz rozumie. Mogly ktos podac mi jeszcze wskazowke do tego zadania?
\(1-3i\) oraz \(-1+5i\) sa przeciwleglymi wierzcholkami kwadratu. Jak znalezc nastepne?
Wiem ze mozna rozwiazac to zadanie w sposob zwykly, czyli odleglosc od prostej liczyc itp ale jest jakis lepszy sposob?

[irena]

Można też tak:
\(A=(1;\ -3)\\C=(-1;\ 5)\)

S- środek przekątnej AC
\(S=(\frac{1-1}{2};\ \frac{-3+5}{2})=(0;\ 1)\)

\(\vec{SA}=[1-0;\ -3-1]=[1;\ -4]\\\vec{SA}\perp\vec{SB}\ \wedge\ |\vec{SB}|=|\vec{SA}|\\\vec{SB}=[4;\ 1]\\\vec{SD}=[-4-1]\\B=(0+4;\ 1+1)=(4;\ 2)\\D=(0-4;\ 1-1)=(-4;\ 0)\)

Pozostałe wierzchołki to więc
\(4+2i\ \ \ oraz\ \ \ -4\)