Sprawdzanie czy jest grupa

[karolinaa1231]

Proszę o pomoc z takim zadaniem:

Niech dla i=1,2,3,4 funkcje fi: R \ {0} -> R \ {0} będą określone wzorami:
f1(x)= x, f2(x)= -x, f3(x)= 1/x, f4(x)= -(1/x).
Sprawdzić, że składnia funkcji \(\circ\) jest działaniem w zbiorze G= {f1, f2, f3, f4}. Zbudować tabelkę tego dzialania. Czy para (G, \(\circ\)) jest grupa?

Dziekuje

Mam tylko tabelke...

[rayman]

Wiec musisz sprawdzic 4 aksjomaty do sprawdzenia
mamy zbior \(G=\{x, -x, \frac{1}{x}, -\frac{1}{x}\}\) i operacje na zbiorze \(\circ\)

1) musimy sprawdzic, czy \(\circ\) jest wogole operacja na tym zbiorze.
\(f_{1}\circ f_{2}=-x\)
\(f_{2}\circ f_{1}=-x\)
\(f_{1}\circ f_{3}=\frac{1}{x}\)
\(f_{3}\circ f_{1}=\frac{1}{x}\)
\(f_{1}\circ f_{4}=-\frac{1}{x}\) itd
Zbior jest domkniety ze wzgledu na operacje, (nie wychodzimy poza zbior) (tabelka Cayley'a)

2) musimy wykazac lacznosc dla operacji czyli dla dowolnych elementow \(f,g,h\in G\) zachodzi relacja
\(h(g(f))(x)=((hg)f(x)\)
\(h(g(f))(x)=h(gf)(x))=h(g(f(x)))\) oraz
\(((hg)f(x)=(hg)(f(x))=h(g(f(x)))\) czyli zgadza sie (skladanie funkcji jest zawsze laczne)
(tutaj ma byc skladanie nie mnozenie)
3) element neutralny \(e=f(x)=x\in G\)
poniewaz
\(f_{1}\circ x=x\circ f_{1}=f_{1}\)
\(f_{2}\circ x=x\circ f_{2}=f_{2}\)
\(f_{3}\circ x=x\circ f_{3}=f_{3}\)
\(f_{4}\circ x=x\circ f_{4}=f_{4}\)

4) element odwrotny. Wszystkie funkcje sa bijekcjami czyli sa odwracalne. Kazdy element ze zbioru musi posiadac unikalny element odwrotny ktory musi nalezec do zbioru (to tez sie zgadza) np
\(f_{1}=x\) ma element odwrotny \(x\in G\) bo \(f_{1}\circ x=x\circ f_{1}=x\)
\(f_{2}=-x\) ma element odwrotny \(-x\in G\) bo \(f_{2}\circ (-x)=-x\circ f_{2}=x\)
\(f_{3}=\frac{1}{x}\) ma element odwrotny \(\frac{1}{x}\in G\) bo \(f_{3}\circ \frac{1}{x}=\frac{1}{x}\circ f_{3}=x\)
\(f_{4}=-\frac{1}{x}\) ma element odwrotny \(-\frac{1}{x}\in G\) bo \(f_{4}\circ (-\frac{1}{x})=-\frac{1}{x}\circ f_{4}=x\)

\((G,\circ)\) jest grupa

[karolinaa1231]

Dziekuje slicznie