zespolone wzór Eulera

[KamilWit]

oblicz :

\(\ \frac {(1 +i)^n}{ (1-i)^{n-2} }\


\\
|z| = \ \sqrt{ 2}\\)
\(\ \sqrt{ 2}\ ( \ \frac {1}{ \ \sqrt{ 2}\ }\ + \ \frac {1}{ \ \sqrt{ 2}\ }\ )
\\
sin \alpha = \ \frac { \ \sqrt{ 2}\ }{ 2}\
\\ cos \alpha = \ \frac { \ \sqrt{ 2}\ }{ 2}\ \\
\alpha = 45^o = \ \frac {\pi}{ 4}\\)
\(\begin{cases}
sin \alpha = \ \frac {-1}{ \ \sqrt{ 2}\ }\ \\ cos \ \alpha \ = \ \frac {1}{ \ \sqrt{ 2}\ }\

\end{cases} \
\\ \ \alpha \ = \ \frac {7}{ 4}\ \pi\)
\(\ \frac { \ \sqrt{ 2}^n }{ \ \sqrt{ 2}^{n-2} }\ \ \cdot \ \ \frac {i \ \cdot \ sin ( \ \frac {\pi}{ 4}\ \ \cdot \ n ) + cos ( \ \frac {\pi}{ 4}\ \ \cdot \ n ) }{ i \ \cdot \ sin ( \ \frac {7 \pi }{ 4}\ ) + cos ( \ \frac {7 \pi}{ 4}\ \ \cdot \ n )}\\)

zatem - przy okazji jak powiekszyć zapis niżej :
\(\Large \large 2 \ \cdot \ \ \frac {e^{i \ \cdot \ \ \frac {n \pi}{ 4}\ } ) }{ e^{ \ i \ \cdot \ \frac {\pi 7 (n-2)}{ 4}\ } }\

= 2 \ \cdot \ e^{i \ \cdot \ ( \ \frac {-3 \pi \ \cdot \ n - 7 \pi }{2 }\ )}\)

i co dalej ??

[octahedron]

\(\frac{(1 +i)^n}{(1-i)^{n-2}}={\Large \frac{\(\sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{4}}\)^n}{\(\sqrt{2}e^{-i\frac{\pi}{4}}\)^{n-2}}}=2e^{i\(\frac{n\pi}{4}-\frac{-(n-2)\pi}{4}\)}=2e^{i\frac{(n-1)\pi}{2}}=2\(e^{i\frac{\pi}{2}}\)^{n-1}=2\cdot i^{n-1}\)

[KamilWit]

zastanawua mnie w szeczgólnosi pierwsza równość.
w mianowniku skorzystaleś , z hm parzystości cosinusa i nieparzystości sinusa ??
jakby ktoś mógł rozpisać dokładniej pomiędzy 1 " równa się ".

[octahedron]

Chodzi o przejście z postaci algebraicznej do wykładniczej dla mianownika?

[KamilWit]

\(\frac{(1 +i)^n}{(1-i)^{n-2}}={\Large \frac{\(\frac{1}{\sqrt{2}}e^{i\frac{\pi}{4}}\)^n}{\(\frac{1}{\sqrt{2}}e^{-i\frac{\pi}{4}}\)^{n-2}}}=}\)

tutaj czemu na dole np.
nie jest \(\frac{\pi 7 }{4}\) /??
jak ja to zrobiłem ?

[octahedron]

\(\frac{7\pi}{4}-2\pi=-\frac{\pi}{4}\)
czyli to jest to samo.

[KamilWit]

a jak Ty masz
\(\ \frac {1}{ 2}\ \ \cdot \ e ..\)
a ja
\(2 \ \cdot \ e ...\)
to skąd taka rozbiezność ?

konsewkencja wzięcia poprzedniego kąta ?

[octahedron]

Oj, to ja mam źle . Już poprawiam.