Udowodnij, wykaz ze

[Dexous]

mam problem z tymi 3 zadaniami. Kompletnie nie wiem jak je zrobic
Korzystajac z indukcji mam do zrobienia ponizsze zadania

zad 1
Udowodnic ze \(1 + \frac{1}{ \sqrt{2} }+ ... + \frac{1}{ \sqrt{n} } > \sqrt{n}\) dla \(n \ge 2\)

zad 2
Dany jest ciag \(a_n = (1+ \frac{1}{n} )^n\) wykazac ze jest rosnacy oraz \(2 \le a_n < 3\)

zad 3
Wykazac ze \(n! > {{n \choose 3} }^n\)

Wszystkie n sa naturalne.
Z gory dziekuje

[radagast]

zad 1
Udowodnic ze \(1 + \frac{1}{ \sqrt{2} }+ ... + \frac{1}{ \sqrt{n} } > \sqrt{n}\) dla \(n>=2\)

dla n=2
\(1 + \frac{1}{ \sqrt{2} } = \frac{ \sqrt{2}+1 }{ \sqrt{2} } > \frac{2}{ \sqrt{2} } = \sqrt{2}\) ok
zał. ind.
istnieje n t. że \(1 + \frac{1}{ \sqrt{2} }+ ... + \frac{1}{ \sqrt{n} } > \sqrt{n}\)
pokażemy , ze \(1 + \frac{1}{ \sqrt{2} }+ ... + \frac{1}{ \sqrt{n} } +\frac{1}{ \sqrt{n+1} }> \sqrt{n+1}\) :
\(L=1 + \frac{1}{ \sqrt{2} }+ ... + \frac{1}{ \sqrt{n} } +\frac{1}{ \sqrt{n+1} }> \sqrt{n}+\frac{1}{ \sqrt{n+1} }=\frac{ \sqrt{n^2+n} +1}{ \sqrt{n+1} }>\frac{ \sqrt{n^2} +1}{ \sqrt{n+1} }=\frac{ n +1}{ \sqrt{n+1} }=\sqrt{n+1}=P\)
CBDO

[patryk00714]

\(\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k}} > \sqrt{n}\)

dla n=2 mamy

\(L=1+ \frac{1}{\sqrt{2}}=1+ \frac{\sqrt{2}}{2}= \frac{2+\sqrt{2}}{2}> \sqrt{2}\)

zatem jest to prawdą

zakładamy prawdziwość wzoru dla n i sprawdzamy, czy zachodzi dla n+1

\(\sum_{k=0}^{n+1}\frac{1}{\sqrt{k}}=\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k}}+ \frac{1}{ \sqrt{n+1} } > \sqrt{n}+\frac{1}{ \sqrt{n+1} }= \frac{\sqrt{n(n+1)}+1}{\sqrt{n+1}}> \sqrt{n+1}\)

zatem na mocy idnukcji nierówność jest spełniona

[KamilWit]

2. ciąg jest równy liczbie
\(e\)
a ona jest \(3>e>2\)

[radagast]

2. Ograniczoność z góry (przez 3) masz tu : http://www.matematyka.pl/41570.htm.
Jest też wskazówka jak uzyskać ograniczoność w ogóle (nierówność Bernoulliego)
Monotoniczności trzeba jeszcze poszukać (albo udowodnić samemu)

[radagast]

znalazłam : http://www.fuw.edu.pl/~maciejun/Matemat ... iczbae.pdf

[radagast]

2. ciąg jest równy liczbie
\(e\)
a ona jest \(3>e>2\)

\To jest powiedziane z dużym przymrużeniem oka

[kamil13151]

2. ciąg jest równy liczbie
\(e\)
a ona jest \(3>e>2\)

Ciąg jest równy

[radagast]

zad 3
Wykazac ze \(n! > {{n \choose 3} }^n\)

Nie sądzę żeby to była prawda:
dla n=5
\(L=5!=120\\P={5 \choose 3} ^5=10^5=100 000\)

[Dexous]

Przepraszam ale przez pomylke zle odpisalem. Tam zamiast symbolu newtona jest ulamek.
czyli do udowodnienia jest nierownosc \(n! > ( \frac{n}{3} )^n\)

[kamil13151]

Sprawdzamy dla \(n=1\), prawda.

Zakładamy, że nierówność \(n! > ( \frac{n}{3} )^n\) jest prawdziwa dla \(n \in N\), zatem również prawdą będzie: \((n+1)!> ( \frac{n}{3} )^n \cdot (n+1)\).

Teraz teza \(T(n \Rightarrow n+1)\), zatem do udowodnienia zostaje: \((n+1)!>( \frac{n+1}{3} )^{n+1}\).

Zauważamy, że wystarczy udowodnić: \(( \frac{n}{3} )^n \cdot (n+1)>( \frac{n+1}{3} )^{n+1}\), co możemy przekształcić do: \(\left(1- \frac{1}{n+1} \right)^n> \frac{1}{3}\), a to już łatwo udowodnić.

[Dexous]

Nie mam pojecia jak do tego doszedles ale probowalem zrobic tym Twoim sposobem i mam cos takiego
\(( \frac{n}{3} )^n>( \frac{n+1}{3} )^n* \frac{1}{3}\) i nie wiem co dalej zrobic

a przy dalszych probach dochodze do \(3 n^n > (n+1)^n\)

[kamil13151]

Podziel obustronnie przez \(( \frac{n+1}{3} )^n\).

[Dexous]

Troche pozno odpowiadam ale tak teraz do tego siadlem i gdy podzielilem juz to to mam cos takiego
\(( \frac{n}{n+1})^n > \frac{1}{3}\) ale i tak nie wiem jak to dalej doprowadzic

[kamil13151]

\(1- \frac{1}{n+1}= \frac{n}{n+1}\) to chyba nie powinno być problemem