izomorfizmy grup

[2entartain]

Uzasadnij, czy podane grupy są izomorficzne. Jeśli nie są podaj powód/powody dla których izomorfizm jest niemożliwy.

i)\(\mathbb{Z}_{5}\times \mathbb{Z}_{2}\) oraz \(\mathbb{Z}_{7}\)
ii)\(\mathbb{Z}_{2}\times \mathbb{Z}_{8}\) oraz \(\mathbb{Z}_{4}\times \mathbb{Z}_{4}\)
iii)\(\mathbb{S}_{5}\times \mathbb{Z}_{6}\) oraz \(\mathbb{S}_{6}\)

[rayman]

i) oczywiscie nie sa izomorficzne, mamy np \(\|\mathbb{Z}_{5}\times \mathbb{Z}_{2}\|=10\neq 7=\|\mathbb{Z}_{7}\|\)

ii) nie sa izomorficzne
np
\(o(\([0]_{2},[1]_{8}\))=8\) a z kolei grupa \(\mathbb{Z}_{4}\times\mathbb{Z}_{4}\) nie ma elementu ktory mialby rzad 8.

iii) jest ciekawsze.
np centrum grupy \(|Z(\mathbb{S}_{6})|=1\) natomiast grupa \(\mathbb{S_{6}\times Z_{6}}\) ma nietrywialne centrum. Nie moga byc zatem izomorficzne.
Innym powodem moze byc fakt np egzystencja elementow o rzedzie 30 w \(\mathbb{S_{6}\times Z_{6}}\) np \(((12345),[1]_{6})\). Elementu o rzedzie 30 nie posiada \(\mathbb{S}_{6}\) gdyby taki element istnial to mielibysmy cykle o dlugosci \(n_{1},....n_{k}\) gdzie \(n_{1}+......+n_{k}=6\) oraz \(l.c.m(n_{1},....n_{k})=30\) ale nie istnieja takie pozytywne liczby calkowite \(n_{1},...,n_{k}\) ktore spelniaja ten warunek.
Mamy zatem
\(\mathbb{S_{6}\times Z_{6}}\not\approx \mathbb{S}_{6}\)