Jak pokazac ze dla dowolnego n naturalnego zachodzi nierownosc metoda indukcji
\({2n \choose n } < 4^n\)
Symbol Newtona, indukcja
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
josselyn
- Expert
- Posty: 4026
- Rejestracja: 01 kwie 2010, 15:35
- Lokalizacja: pod Lublinem - Niedrzwica
- Podziękowania: 3 razy
- Otrzymane podziękowania: 1914 razy
- Płeć:
Re: Symbol Newtona, indukcja
\(1^ \circ
n=1
L= \left( 2\\1\right)=2
P=4^1=4
2<4
2 ^\circ
n \ge 1
Z: \left(2n\\n \right)<4^n
\frac{(2n)!}{n!n!}<4^n
T: \left(2n+2\\n+1 \right)<4^{n +1}
\frac{(2n+2)!}{(n+1)!(n+1)!}<4^{n+1}
D:\frac{(2n+2)!}{(n+1)!(n+1)!}= \frac{(2n)!(2n+1)(2n+2)}{n!n!(n+1)(n+1)}= \frac{(2n)!2(2n+1)}{n!n!(n+1)}<4^n* \frac{4n+2}{n+1}<4^n*4=4^{n+1}
CBDO\)
n=1
L= \left( 2\\1\right)=2
P=4^1=4
2<4
2 ^\circ
n \ge 1
Z: \left(2n\\n \right)<4^n
\frac{(2n)!}{n!n!}<4^n
T: \left(2n+2\\n+1 \right)<4^{n +1}
\frac{(2n+2)!}{(n+1)!(n+1)!}<4^{n+1}
D:\frac{(2n+2)!}{(n+1)!(n+1)!}= \frac{(2n)!(2n+1)(2n+2)}{n!n!(n+1)(n+1)}= \frac{(2n)!2(2n+1)}{n!n!(n+1)}<4^n* \frac{4n+2}{n+1}<4^n*4=4^{n+1}
CBDO\)
Znasz odpowiedź do zadania, to ją podaj. Łatwiej będzie sprawdzić czy w rozwiązaniu zadania nie ma błędu.
Otrzymałeś odpowiedź do umieszczonego zadania? Podziękuj autorowi za rozwiązanie!!
„Jeżeli chcecie nauczyć się pływać ,
To trzeba, żebyście weszli do wody.
Jeżeli zamierzacie nauczyć się rozwiązywania zadań,
to trzeba, żebyście je rozwiązywali”
George Polya
Otrzymałeś odpowiedź do umieszczonego zadania? Podziękuj autorowi za rozwiązanie!!
„Jeżeli chcecie nauczyć się pływać ,
To trzeba, żebyście weszli do wody.
Jeżeli zamierzacie nauczyć się rozwiązywania zadań,
to trzeba, żebyście je rozwiązywali”
George Polya
1)
\(n=1\)
\({2n\choose n}={2\choose 1}=2<4^1=4\)
2)
\(Z.\)
\({2n\choose n}<4^n\)
\(T.\)
\({2(n+1)\choose n+1}<4^{n+1}\)
\(D.\)
\({2n+2\choose n+1}=\frac{(2n+2)!}{(n+1)!\cdot(n+1)!}=\frac{(2n)!\cdot(2n+1)(2n+2)}{(n+1)!\cdot(n+1)!}=\frac{(2n)!\cdot2(n+1)(2n+1)}{(n+1)\cdot n!\cdot(n+1)\cdot n!}=\frac{(2n)!}{n!\cdot n!}\cdot\frac{(2n+1)\cdot2(n+1)}{(n+1)^2}=\)\(={2n\choose n}\cdot\frac{4n+2}{n+1}={2n\choose n}\cdot[4-\frac{2}{n+1}]<4^n\cdot4=4^{n+1}\)
\(n=1\)
\({2n\choose n}={2\choose 1}=2<4^1=4\)
2)
\(Z.\)
\({2n\choose n}<4^n\)
\(T.\)
\({2(n+1)\choose n+1}<4^{n+1}\)
\(D.\)
\({2n+2\choose n+1}=\frac{(2n+2)!}{(n+1)!\cdot(n+1)!}=\frac{(2n)!\cdot(2n+1)(2n+2)}{(n+1)!\cdot(n+1)!}=\frac{(2n)!\cdot2(n+1)(2n+1)}{(n+1)\cdot n!\cdot(n+1)\cdot n!}=\frac{(2n)!}{n!\cdot n!}\cdot\frac{(2n+1)\cdot2(n+1)}{(n+1)^2}=\)\(={2n\choose n}\cdot\frac{4n+2}{n+1}={2n\choose n}\cdot[4-\frac{2}{n+1}]<4^n\cdot4=4^{n+1}\)