Indukcja

[Dexous]

Udowodnij ze \(3 | 10^n+4^n-2\)

Pierwszy krok jest spelniony ale mam problem z drugim.
\(10^{n+1}+4^{n+1}-2 = 10 * 10^n + 4 * 4^n - 2\)
Jak z tym dalej sobie poradzic?

[patryk00714]

Bardzo prosto:

Założyliśmy w drugim kroku prawdziwość twierdzenia dla n. Teraz sprawdzamy, czy zachodzi dla n+1

\(10^{n+1}+4^{n+1}-2=10 \cdot 10^n+4\cdot 4^n-2=(10^n+4^n-2)+9\cdot 10^n+3 \cdot 4^n=(10^n+4^n-2)+3(3 \cdot 10^n+4^n)\)

liczba w nawiasie jest podzielna przez 3 założenia. Druga także z oczywistych już względów. Zatem nam mocy indukcji matematycznej liczba \(10^n+4^n-2\) jest podzielna przez 3.

[Dexous]

Ok juz rozumie, wielkie dzieki

[KamilWit]

liczba jest podzielna przez 3 , gdy suma cyfr jest podzielna przez 3.

z \(10\)
zawsze będzie to + 1 do sumy, a więc pozostało udwodnić, że
\(4 \ \cdot \ 4^n - 2\)
jest podzielne przez dwa.
co jest dosyć oczywiste.
bo mamy podzielność przez 4
\(4 = 2 \ \cdot \ 2\)
czyli jesli odejmiemy 2
zostaje na pewno przynajmniej podzielność przez \(2\)