forum.zadania.info

hej potzrebuję przykładu na dodawanie odejmowanie i mnozenie szeregów potęgowych. szeregi dowolne ale nie bardzo łatwe i wyniki tez zwiniete w szereg ale wczesniej rozpisane
Bede wdzięczna

\(f(x)= \sum_{n=0}^{ \infty } \frac{(2n+1)x^n}{n!}\)

\(g(x)= \sum_{n=0}^{ \infty } \frac{nx^n}{n!}\)


\(f(x)+g(x)=\sum_{n=0}^{ \infty } \frac{(2n+1)x^n}{n!}+\sum_{n=0}^{ \infty } \frac{nx^n}{n!}= \sum_{n=0}^{ \infty }[\frac{(2n+1)}{n!}+\frac{n}{n!}]x^n= \sum_{n=0}^{ \infty }[ \frac{3n+1}{n!}]x^n\)

zauważ tylko, że indeksy muszą być równe, ażeby można było swobodnie dodawać szeregi. Gdyby np było:

\(f(x)= \sum_{n=0}^{ \infty } \frac{(2n+1)x^n}{n!}\)
\(g(x)=\sum_{n=1}^{ \infty } \frac{(n-1)x^{n-1}}{(n-1)!}\) to musimy wyrównać je:

\(g(x)=\sum_{n=1}^{ \infty } \frac{(n-1)x^{n-1}}{(n-1)!}= \sum_{n=0}^{ \infty } \frac{nx^n}{n!}\)

(n przy sigmie zmniejszamy to w wyrażeniu zwiększamy o tyle samo)

\(f(x)-g(x)\) analogicznie, tyle, że zamiast dodawać odejmujemy. Rozumiesz?

tak rozumiem a mnożenie ??

Mnożenie Cauchy'ego ogólnie:

Dane są szeregi \(f(x)=\sum_{n=0}^{ \infty } a_n(x-a)^n \;\;\;\;\;\ g(x)= \sum_{n=0}^{ \infty } b_n(x-a)^n\)

Iloczynem Cauchy'ego tych szeregow nazywamy szereg:

\(\sum_{n=0}^{ \infty } \sum_{k=0}^{n}a_kb_{n-k}(x-a)^n\)


Zatem dla wymienionych w powyższym poście szeregów

mamy:

\(f(x)=\sum_{n=0}^{ \infty } \frac{(2n+1)x^n}{n!} \;\;\;\;\ g(x)= \sum_{n=0}^{ \infty } \frac{nx^n}{n!}\)


Iloczyn Cauchy'ego:

\(\sum_{n=0}^{ \infty } \sum_{k=0}^{n} [\frac{2k+1}{k!} \cdot \frac{n-k}{(n-k)!}] x^n\)

Tutaj masz ładnie rozpisane: http://pl.wikipedia.org/wiki/Szereg_pot%C4%99gowy

Zbieżność szeregu potęgowego:

Dany jest szereg: \(\sum_{n=0}^{ \infty }a_nx^n\)


Liczymy promień zbieżności \(R\):


\(\lambda= \lim_{n\to \infty }| \frac{a_{n+1}}{a_n}|= \lim_{n\to \infty } \sqrt[n]{|a_n|}\)

Wtedy \(R= \frac{1}{\lambda}\)

a obszarem zbiezności jest przedział \((-R,R)\)

osobno liczymy zbieżność szeregu na krańcach przedziału.


Jeżeli \(\lambda=0\) to \(R= \infty\)

Jeżeli \(\lambda= \infty\) to szereg jest zbieżny tylko w punkcie \(x=0\)

Np.

\(\sum_{n=1}^{ \infty } \frac{x^n}{n4^{n-1}}\)

\(\lambda= \lim_{n\to \infty } \frac{ \frac{1}{(n+1)4^{n+1-1} }}{ \frac{1}{n4^{n-1} }}= \lim_{n\to \infty } \frac{n4^{n-1}}{(n+1)4^{n-1}4}= \lim_{n\to \infty } \frac{n}{4n+4}= \frac{1}{4}\)

Zatem \(R= \frac{1}{\lambda}=4\)

Zatem szereg jest zbieżny w przedziale \((-4,4)\)

Badamy na krańcach: \(x=-4\)

\(\sum_{n=1}^{ \infty } \frac{(-4)^n}{n4^{n-1}}= \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{(-1)^n4^n}{n4^{n-1}}= \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{(-1)^n}{4n}\) a on na podstawie kryterium Leibniza jest zbieżny.


\(x=4\)

otrzymujemy: \(\sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{4n}\) a on jest rozbieżny, bo szereg \(\sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{n} = \infty\)


Zatem szereg \(\sum_{n=1}^{ \infty } \frac{x^n}{n4^{n-1}}\) jest zbieżny w \(<-4,4)\)