Mam takie zadanie i nie mam pojęcia gdzie jest błąd w moim rozumowaniu:
Z pudełka zawierającego dwie kule niebieskie i dwie kule białe wyjmujemy losowo dwie kule. Następnie losujemy z pozostałych jedną kulę, która okazuje się niebieska. Policz prawdopodobieństwo, że z pudełka wylosowaliśmy kule w dwóch kolorach.
Najpierw losujemy dwie kule z 4
- wylosowaliśmy dwie niebieskie, prawdopodobieństwo \(\frac{1}{4}\)
-wylosowaliśmy dwie białe, prawdopodobieństwo \(\frac{1}{4}\)
-wylosowaliśmy jedną białą, jedną niebieską, prawdopodobieństwo \(\frac{1}{2}\)
Teraz z pozostałych losujemy jedną kulę.Mamy wylosować niebieską, czyli
-najpierw 2 niebieskie - prawd. wylosowania niebieskiej z pozostałych to \(\frac{1}{2}\)
- najpierw 2 białe - prawd. wylosowania niebieskiej to \(0\)
- najpierw jedna taka, druga taka - prawd. niebieskiej to \(\frac{1}{2}\)
Mają być kule w różnych kolorach, więc mogą być najpierw dwie białe i jedna niebieska (przypadek II), albo najpierw jedna biała, druga niebieska, a potem znowu niebieska(przypadek III). Czyli wychodzi \(\frac{1}{4} \cdot 0+ \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} =\frac{1}{4}\)
Ma wyjść podobno \(\frac{1}{3}\)
Losowanie kul, gdzie jest błąd
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
A- za trzecim razem wylosowano kulę niebieską
B- wylosowano dwie kule różnych kolorów i za trzecim razem kulę niebieską
C- losowano z dwóch różnych kul, jeśli za pierwszym razem wylosowano kule różnych kolorów
\(A=\{bbn;\ bnn;\ nbn;\ nnn\}\\B=\{bnn;\ nbn\}\\P(A)=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3}\cdot0+\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3}\cdot1=\frac{1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}=\frac{1}{2}\\P(B)=\frac{1}{2}\cdo\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{6}+\frac{1}{6}=\frac{1}{3}\)
\(P(C)=\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{2}}=\frac{2}{3}\)
B- wylosowano dwie kule różnych kolorów i za trzecim razem kulę niebieską
C- losowano z dwóch różnych kul, jeśli za pierwszym razem wylosowano kule różnych kolorów
\(A=\{bbn;\ bnn;\ nbn;\ nnn\}\\B=\{bnn;\ nbn\}\\P(A)=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3}\cdot0+\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3}\cdot1=\frac{1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}=\frac{1}{2}\\P(B)=\frac{1}{2}\cdo\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{6}+\frac{1}{6}=\frac{1}{3}\)
\(P(C)=\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{2}}=\frac{2}{3}\)
Dwie niebieskie kule losujemy z prawdopodobieństwem równym \(\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3}=\frac{1}{6}\), bo jest to losowanie bez zwracania.
Dwie białe też z prawdopodobieństwem \(\frac{1}{6}\)
Kule różnych kolorów losujemy z prawdopodobieństwem \(\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}+\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}=\frac{2}{3}\)
Dwie białe też z prawdopodobieństwem \(\frac{1}{6}\)
Kule różnych kolorów losujemy z prawdopodobieństwem \(\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}+\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}=\frac{2}{3}\)
Można rozpisać tak:
A- wylosowano kule różnych kolorów w dwóch pierwszych losowaniach
B- w trzecim losowaniu wylosowano kulę niebieską
C- wylosowano kule różnych kolorów w dwóch pierwszych losowaniach pod warunkiem, że za trzecim razem wylosowano kulę niebieską
\(A-\{bnb;\ bnn;\ nbn;\ nbb\}\\B=\{bbn;\ bnn;\ nbn;\ nnn\}\\A\cap B=\{bnn;\ nbn\}\\P(C)=P(A/B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}\)
\(P(A\cap B)=\frac{1}{3}\\P(B)=\frac{1}{2}\\P(C)=\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{2}}=\frac{2}{3}\)
A- wylosowano kule różnych kolorów w dwóch pierwszych losowaniach
B- w trzecim losowaniu wylosowano kulę niebieską
C- wylosowano kule różnych kolorów w dwóch pierwszych losowaniach pod warunkiem, że za trzecim razem wylosowano kulę niebieską
\(A-\{bnb;\ bnn;\ nbn;\ nbb\}\\B=\{bbn;\ bnn;\ nbn;\ nnn\}\\A\cap B=\{bnn;\ nbn\}\\P(C)=P(A/B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}\)
\(P(A\cap B)=\frac{1}{3}\\P(B)=\frac{1}{2}\\P(C)=\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{2}}=\frac{2}{3}\)