układ równań

[agata178]

Proszę o rozwiązanie układu równań:
\(\begin{cases}3x+3y+z=1\\8x+2y-4z=1\\-4x-y+2z=-1 \end{cases}\)

[patryk00714]

Wyznacz z pierwszego równania zmienną \(z\) tj. \(z=1-3x-3y\). Następnie wstaw to za \(z\) do dwóch pozostałych równań. Otrzymasz zwyczajny układ równań dwóch zmiennych. A z tym sobie poradzisz, prawda?

[Arni123]

Przedstawmy dany układ równań w postaci macierzowej.
\(\begin{bmatrix} 3 & 3 & 1 &| 1 \\ 8 & 2 & -4 &| 1\\-4 & -1 & 2 &\;\;| -1 \end{bmatrix}\)
Rozważymy ten układ metoda eliminacji Jordana-Gaussa
Dodajmy teraz do drugiego wiersza wiersz trzeci wymnożony przez 2, a następnie zamieńmy je miejscami.
\(\begin{bmatrix} 3 & 3 & 1 &| 1 \\ 8 & 2 & -4 &| 1\\-4 & -1 & 2 &\;\;| -1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 3 & 3 & 1 &| 1 \\ 0 &0 & 0 &\;\;|-1\\-4 & -1 & 2 &\;\;| -1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 3 & 3 & 1 &| 1 \\ -4 &-1 & 2 &\;\;|-1\\ 0 & 0 & 0 &\;\;| -1 \end{bmatrix}\)
Zauważ teraz ,że w trzecim wierszu mamy same zera oprócz elementu stojącego w kolumnie wyrazów wolnych, a zatem dany układ jest sprzeczny,czyli brak rozwiązań.

[agata178]

a nie wystarczy obliczyć wyznacznik, który równa się zero i od razu stwierdzić że układ jest sprzeczny?

[Matematyk_64]

Nie, bo może być jeszcze nieoznaczony