LIczby całkowite. Proszę o pomoc:P

[miki188]

1. Wyznacz wszystkie pary liczb całkowitych x; y spełniających równanie:
a) 3x^3-4x^2y=5
b) x^2-y^2-4y+4=8
c)xy-2y+x-5=0
d) yx=x+y

2.wykaż, że 200|291^8+3*291^4-4
3, Wyznacz liczbę naturalnych dzielników liczby 1520

[irena]

3.
\(1520=2^4\cdot5^1\cdot19^1\\n=(4+1)\cdot(1+1)\cdot(1+1)=5\cdot2\cdot2=20\)

[eresh]

1
a)
\(3x^3-4x^2y=5\\
x^2(3x-4y)=5\\
x^2=1\; \wedge \;3x-4y=5\\
x=-1\; \wedge y=-2\)

[irena]

1.
d)
\(x+y=xy\\xy-y=x\\y(x-1)=x\\y=\frac{x}{x-1}\)

\(\{x=2\\y=2\) lub \(\{x=0\\y=0\)

[irena]

1.
c)
\(xy-2y=x-5\\y(2-x)=x-5\\y=\frac{x-5}{2-x}\)

Liczba w liczniku ma inną resztę z dzielenia przez 2 niż liczba w mianowniku (jedna jest parzysta, druga nieparzysta- jeśli x jest parzyste, to parzysty jest mianownik, jeśli x jest nieparzyste, to parzysty jest licznik), czyli albo mianownik jest równy 1 lub -1, albo licznik jest zerem
\(\{x=1\\y=-4\) lub \(\{x=3\\y=2\) lub \(\{x=5\\y=0\)

[irena]

1.
b)
\(x^2=y^2+4y+4\\x^2=(y+2)^2\\y=x-2\ \ \vee\ \ y=-x-2\)

[irena]

2.
\(291^8+3\cdot291^4-4=(291^4-1)(291^4+4)=(291^2-1)(291^2+1)(291^4+4)=(291-1)(291+1)(291^2+1)(291^4+4)=290\cdot292\cdot(291^2+1)(291^4+4)=\\=10\cdot4\cdot29\cdot73\cdot(291^4+4)(291^2+1)=40\cdot(291^4+4)(291^2+1)\cdot29\cdot73\)

Cyfrą jedności liczby \(291^4\) jest 1, czyli cyfrą jedności liczby \(291^4+4\) jest 5, czyli liczba ta dzieli się przez 5.
Zatem liczba wyjściowa dzieli się przez \(40\cdot5=200\)