Znajdź i oblicz ekstrema funkcji ( jeśli istnieją)

[beatka2041]

Znajdź i oblicz ekstrema funkcji ( jeśli istnieją)
\(f(x,y,z) = x^2 + 3y^2 + z^2 −2xy + 3yz − y −z\)

f'x(x,y,z)=2x−2y
f'y(x,y,z)= 6y−2x+3z−1
f'z(x,y,z)= 2z=3y−1

wyszło mi że P (1,1,−1)

f'xx=2 f'xy= −2 f'xz= 0
f'yx= −2 f'yy= 6 f'yz=3
f'zx= 0 f'zy=3 f'zz=2

Macierz drugiej róźniczki
\(\begin{bmatrix} 2&-2&0\\-2&6&3\\0&3&2\end{bmatrix}\)

Liczę \(H_1(P)= 2\)
\(H_2(P)= \begin{bmatrix}2&-2\\-2&6 \end{bmatrix}=8\)
\(H_3(P)=-2\)

Brak ekstremum w punkcie P ?

[beatka2041]

\(x^2+3y^2+z^2-2xy+3yz-y-z\)

[patryk00714]

3.

Wczoraj ten przykład rozwiązałem już, ale go przepisze:

\(f(x,y,z)=x^2+3y^2+z^2-2xy+3yz-y-z\)

\(\frac{df}{dx}=2x-2y\)

\(\frac{df}{dy} =6y-2x+3z-1\)

\(\frac{df}{dz}=2z+3y-1\)

\(\begin{cases}x-y=0\\6y-2x+3z=1\\2z+3y=1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x=y\\4x+3z=1\\2z+3x=1\end{cases} \Rightarrow \begin{cases}x=y\\z= \frac{1}{3}- \frac{4}{3}x\\2( \frac{1}{3}- \frac{4}{3}x)+3x=1 \end{cases}\)


mamy więc: \(\frac{2}{3}+ \frac{1}{3}x=1 \Rightarrow \frac{1}{3}x= \frac{1}{3} \Rightarrow x=1\)

zatem \(y=1\), a więc: \(z=-1\)

\(P(1,1,-1)\)

\(\frac{d^2f}{dxdx}=2\;\;\;\;\ \frac{d^2f}{dydx}=-2\;\;\;\;\ \frac{d^2f}{dzdx}=0\)

\(\frac{d^2f}{dydy}=6\;\;\;\;\ \frac{d^2f}{dxdy}=-2\;\;\;\;\ \frac{d^2f}{dzdy}=3\)

\(\frac{d^2f}{dzdz}=2\;\;\;\;\ \frac{d^2f}{dxdz}=0\;\;\;\;\;\ \frac{d^2f}{dydz}=3\)


\(H=H(P)= \begin{vmatrix} 2&-2&0\\-2&6&3\\0&3&2\end{vmatrix}\)

\(H_1(P)=2\)

\(H_2(P)= \begin{vmatrix}2&-2\\-2&6 \end{vmatrix} =8\)

\(h_3(P)= \begin{vmatrix} 2&-2&0\\-2&6&3\\0&3&2\end{vmatrix} =-2\)

zatem schemat nie jest zachowany. Brak ekstremum w punkcie P.