Liczby całkowite

[kuba [6]]

Wykaż, że spośród 5 liczb całkowitych można zawsze wybrać 3 liczby takie, że ich średnia arytmetyczna jest liczbą całkowitą.
Prosiłbym o pomoc w tym zadaniu. Za wszelkie wskazówki z góry dzięki.

[KamilWit]

oprzeć się na nieparzystości / parzystości liczb całkowitych
np.
mamy 5 liczb nieparzystych

( np + np + np ) / 3 = np
dla przykładu

\(\ \frac { 1+3+5 } { 3 } \ = 3\)

itd. kombinuj.

nieparzystą liczbę można zapisać w postaci:
\(2n + 1 \\
zatem \\
( 2 ( n + x + y) + 3 ) / 3\)
przykład
\(( 3 + 5 + 7 ) = ( 2(1+2+3) + 3)) / 3\)


takie luźne pomysły , ale może coś wykombinujesz xd.

rozważ przypadki
5 np, 5 parzystych
4 np 1 parzysta
4 parzyste 1 nieparzysta
3 np 2 parzyste
3 parzyste 2 nieparzyste
i tyle.
co nam daję 6 przypadków.

dla przykładu
jakbyś wybrał 3 parzyste
przykład
2,4,8,16,32
a z tej ?
\(\ \frac { 2+4+8 } { 3} \ = ...\)

3 nieparzyste:
5,7,11,13,17

\(\ \frac { 5 + 7 + 11 } { 3 } \\)

i wtedy zostają nam 4 przypadki.
ale sprawdź, bo ja nie sprawdzałem wszystkich możliwości w tych piątkach.
czy możemy sposród nich wybrać, czy też nie.
może ktoś utworzyć trójki podzielne przez 3 z tych dwóch zestawów ? bo ja nie mogę : P .
jeśli faktycznie się nie da , to kontrprzykład kończy zadanie.

[kuba [6]]

dla przykładu
jakbyś wybrał 3 parzyste
przykład
2,4,8,16,32
z takiej piątki nie wybierzesz trójki raczej podzielnej przez 3
\(\ \frac { 2+4+8 } { 3} \ = ...\)

można ,na przykład;
2,4,6,7,9,
bo
\(\frac{2+4+6}{3} =4\)

3 nieparzyste:
5,7,11,13,17

\(\ \frac { 5 + 7 + 11 } { 3 } \\)

też da się, na przykłąd;3,5,7,8,10
bo
\(\frac{3+5+7}{3} =5\)

[KamilWit]

? , ale nie zmieniaj liczb.

" Wykaż, że spośród 5 liczb całkowitych można zawsze "
pacz jest napisane ZAWSZE ...
jeśli wybierzesz piątkę w ktorej się nie da, kończy to zadanie generalnie.
ułóz z moich liczb,.

że się da to ja wiem ; ) .
specjalnie chciałem dobrać takie , w których może się nie da ; )

[kuba [6]]

? , ale nie zmieniaj liczb.

" Wykaż, że spośród 5 liczb całkowitych można zawsze "
pacz jest napisane ZAWSZE ...
jeśli wybierzesz piątkę w ktorej się nie da, kończy to zadanie generalnie.
ułóz z moich liczb,.

Masz rację. Pomyłka.

[Matematyk_64]

1) Jeżeli wśród pięciu wybranych liczb trzy będą podzielne przez 3, to średnia z tych trzech liczb będzie całkowita (suma podzielna przez trzy)
\(3k+3l+3m = 3(k+l+m)\)
2) Jeśli wśród pięciu wybranych liczb dwie lub jedna będzie podzielnych przez trzy to wystarczy, że wśród pozostałych trzech czterech
a) będą dzieliły się przez trzy z resztą 1 albo 2
\((3k+1) + (3l+1) + (3m+1) = 3(k+l+m+1)\)
\((3k+2) + (3l+2) + (3m+2) = 3(k+l+m+2)\)
b) wśród pozostałych są takie co dzielą się przez 3 z resztą 1 i takie co dzielą się przez trzy z resztą 2
\((3k) + (3l+1) + (3l+2) = 3(k+l+m+1)\)
3) Jeśli wśród pięciu wybranych liczb nie ma ani jednej podzielnej przez trzy to przynajmniej 3 są podzielne przez 3 z resztą 1 albo z resztą 2 co jest równoważne punktowi 2a)

Więcej przypadków nie ma.

[KamilWit]

a ułóż z tych liczb podzielną przez 3
5,7,11,13,17
\(5 + 11 + 17\)
i
2,4,8,16,32
?

[Matematyk_64]

5,11,17 są podzielne przez 3 z resztą 2
5+11+17 = 33
średnia 11

2,8,32 są podzielne przez 3 z resztą 2
2+8+32 = 42
średnia 14

[KamilWit]

dzięki wielkie ; )
zgadza się ; )

[kuba [6]]

Rozwiązanie podane przez Matematyka_64 jest chyba bardziej "konkursowe" niż dobieranie liczb. Jednak to zadanie do gimnazjum też średnio pasuje . Dzięki wielkie za zaangażowanie w rozwiązaniu tego problemu