Wykorzystujesz bezpośrednio definicję podprzestrzeni liniowej (wektorowej). Traktujesz normalnie punkty na płaszczyźnie jak wektory.
a) NIE
Jak wymnożysz wektor (współrzędne) punktu przez ujemny skalar to już będzie należał do drugiej półpłaszczyzny
b) NIE
Znowu mnożymy przez skalar np.
\(( \frac{1}{2}, \frac{1}{2})\) spełnia warunki zadania, a jak wymnożysz przez 2 to już nie należy.
Tu pokazałem bez definicji, bo wystarczy podać przykład, a zapis matematyczny by tylko utrudnił
c)
\(A=\{(x,y):y=ax+b; a,b \in R\}\)
Bierzemy 2 wektory
\(w_1=(x_1,y_1)=(x_1,ax_1+b) \ \ w_2=(x_2,y_2)=(x_2,ax_2+b)
w_1+w_2=(x_1,y_1)+(x-2,y_2)=(x_1+x_2,ax_1+ax_2+b+b)=(x_3,ax_3+2b)\) gdzie
\(x_3=x_1+x_2\)
Znowu nie jest to podprzestrzeń liniowa. Nawiasem mówiąc gdybyśmy mieli funkcję postaci
\(y=ax\) to by była podprzestrzeń, ale mamy dowolność tu wyrazu wolnego więc niestety nie jest podprzestrzenią
I zostaje d)
I ponownie wystarczy przykład
Np. Wektory
\((1,-1,-1)\) oraz
\((0,0,1)\). Spełniają równanie płaszczyzny, ale ich suma już nie bo dla
\((1,-1,-1)+(0,0,1)=(1,-1,0)\).
\(1-(-1)-0 \neq 1\)
Gdybyś miała równanie przypłaszczany
\(x-y+z=0\) to by była podprzestrzeń (zabawa by była z liczeniem podobnie jak wyżej, tylko jeszcze drugi warunek do sprawdzania tj wymnożenie przez skalar.
Z książek z ali polecam algebrę liniową wyd. gis, a trudniejsze zadania (z rozwiązaniami) to algebra liniowa rutkowskiego lub algebra liniowa gajda, czarnowski wyd. WNT
Edit Często się tego nie sprawdza, ale do podprzestrzeni musi należeć wektor zerowy. Ostatni podpunkt można załatwić z tego (on nie posiada). Rzadko się to sprawdza - zapomina się o tym (chociaż powinno na początku), bo rzadko to się zdarza.
