Wykreślic w \(R^2\) relację
\(R= {\left} <x,y>:(x+3)^2 + y^2<4 { \right\}\)
Zbadać czy jest zwrotna symetryczna i przechodnia.
Relacja równoważnosci
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
josselyn
- Expert
- Posty: 4026
- Rejestracja: 01 kwie 2010, 15:35
- Lokalizacja: pod Lublinem - Niedrzwica
- Podziękowania: 3 razy
- Otrzymane podziękowania: 1914 razy
- Płeć:
Re: Relacja równoważnosci
Wnetrze kola o srodku (-3,0) i promieniu 2.
Symetryczna nie jest.
Gdyby byla symetryczna to wtedy:
\(xRy \Rightarrow yRx\)
Niech
\(<x,y>=<-3,0>\)
To wtedy
\((-3+3)^2+0=0<4 \Rightarrow xRy\)
oraz
\(<y,x>=<0,-3>\)
To wtedy
\((0+3)^2+(-3)^2=18>4 \Rightarrow \sim(yRx)\)
Zatem nie zachodzi
\(xRy \Rightarrow yRx\)
Symetryczna nie jest.
Gdyby byla symetryczna to wtedy:
\(xRy \Rightarrow yRx\)
Niech
\(<x,y>=<-3,0>\)
To wtedy
\((-3+3)^2+0=0<4 \Rightarrow xRy\)
oraz
\(<y,x>=<0,-3>\)
To wtedy
\((0+3)^2+(-3)^2=18>4 \Rightarrow \sim(yRx)\)
Zatem nie zachodzi
\(xRy \Rightarrow yRx\)
Znasz odpowiedź do zadania, to ją podaj. Łatwiej będzie sprawdzić czy w rozwiązaniu zadania nie ma błędu.
Otrzymałeś odpowiedź do umieszczonego zadania? Podziękuj autorowi za rozwiązanie!!
„Jeżeli chcecie nauczyć się pływać ,
To trzeba, żebyście weszli do wody.
Jeżeli zamierzacie nauczyć się rozwiązywania zadań,
to trzeba, żebyście je rozwiązywali”
George Polya
Otrzymałeś odpowiedź do umieszczonego zadania? Podziękuj autorowi za rozwiązanie!!
„Jeżeli chcecie nauczyć się pływać ,
To trzeba, żebyście weszli do wody.
Jeżeli zamierzacie nauczyć się rozwiązywania zadań,
to trzeba, żebyście je rozwiązywali”
George Polya
-
Crazy Driver
- Fachowiec
- Posty: 1070
- Rejestracja: 07 maja 2010, 12:48
- Podziękowania: 2 razy
- Otrzymane podziękowania: 357 razy
Re: Relacja równoważnosci
Aby mówić o takich własnościach jak zwrotność, czy przechodniość musimy ustalić zbiór \(X\), taki że \(R\subset X^2\).
Najmniejszym takim zbiorem (w sensie inkluzji) jest \(X=(-5,2)^2\).
Wówczas relacja \(R\) nie jest zwrotna, bowiem dla \(x=0\) mamy \((0+3)^2+0^2=9\ge4\), czyli \(\neg(0R0)\).
Relacja \(R\) nie jest symetryczna, co zostało udowodnione przez Josselyn.
Relacja \(R\) jest przechodnia. Ustalmy \(x,y,z\) takie, że zachodzi
\(\begin{cases} (x+3)^2+y^2<4\\(y+3)^2+z^2<4\end{cases}\)
Pokażemy, że z tych warunków wynika nierówność \((x+3)^2+z^2<4\).
Skoro \(y\) spełnia pierwszą nierówność musi być \(-2<y<2\). Wówczas
\(1<y+3<5\)
Jednak wobec drugiej nierówności mamy
\(-2<y+3<2\)
\(-5<y<-1\)
Biorąc część wspólną tych ograniczeń dostajemy
\(-2<y<-1\)
Sumując nierówności stronami otrzymujemy
\((x+3)^2+z^2+y^2+(y+3)^2<8\)
Dwa ostatnie składniki stanowią trójmian kwadratowy zmiennej \(y\). Znajdźmy kres górny tego trójmianu określonego na \((-2,-1)\).
\(f(y)=y^2+(y+3)^2=2y^2+6y+9\)
Odcięta wierzchołka to \(p=-\frac{6}{4}=-\frac32\in(-2,-1)\).
Zatem kres górny \(f\) jest osiągany w obu krańcach przedziału \((-2,-1)\).
\(f(-1)=2-6+9=5\)
Mamy
\(\begin{cases}(x+3)^2+z^2+y^2+(y+3)^2<8\\y^2+(y+3)^2<5 \end{cases}\)
Odejmując stronami dostajemy
\((x+3)^2+z^2<3<4\)
Zatem istotnie zachodzi implikacja \((xRy\wedge yRz)\Rightarrow xRz\).
Najmniejszym takim zbiorem (w sensie inkluzji) jest \(X=(-5,2)^2\).
Wówczas relacja \(R\) nie jest zwrotna, bowiem dla \(x=0\) mamy \((0+3)^2+0^2=9\ge4\), czyli \(\neg(0R0)\).
Relacja \(R\) nie jest symetryczna, co zostało udowodnione przez Josselyn.
Relacja \(R\) jest przechodnia. Ustalmy \(x,y,z\) takie, że zachodzi
\(\begin{cases} (x+3)^2+y^2<4\\(y+3)^2+z^2<4\end{cases}\)
Pokażemy, że z tych warunków wynika nierówność \((x+3)^2+z^2<4\).
Skoro \(y\) spełnia pierwszą nierówność musi być \(-2<y<2\). Wówczas
\(1<y+3<5\)
Jednak wobec drugiej nierówności mamy
\(-2<y+3<2\)
\(-5<y<-1\)
Biorąc część wspólną tych ograniczeń dostajemy
\(-2<y<-1\)
Sumując nierówności stronami otrzymujemy
\((x+3)^2+z^2+y^2+(y+3)^2<8\)
Dwa ostatnie składniki stanowią trójmian kwadratowy zmiennej \(y\). Znajdźmy kres górny tego trójmianu określonego na \((-2,-1)\).
\(f(y)=y^2+(y+3)^2=2y^2+6y+9\)
Odcięta wierzchołka to \(p=-\frac{6}{4}=-\frac32\in(-2,-1)\).
Zatem kres górny \(f\) jest osiągany w obu krańcach przedziału \((-2,-1)\).
\(f(-1)=2-6+9=5\)
Mamy
\(\begin{cases}(x+3)^2+z^2+y^2+(y+3)^2<8\\y^2+(y+3)^2<5 \end{cases}\)
Odejmując stronami dostajemy
\((x+3)^2+z^2<3<4\)
Zatem istotnie zachodzi implikacja \((xRy\wedge yRz)\Rightarrow xRz\).
Korki z matmy, rozwiązywanie zadań
info na priv
info na priv
-
Crazy Driver
- Fachowiec
- Posty: 1070
- Rejestracja: 07 maja 2010, 12:48
- Podziękowania: 2 razy
- Otrzymane podziękowania: 357 razy
Re: Relacja równoważnosci
Powinno być \((0+3)^2+(-3)^2=18\ge4 \Rightarrow \neg(yRx)\)josselyn pisze: To wtedy
\((0+3)^2+(-3)^2=18>4 \Rightarrow -yRx\)
albo
\((0+3)^2+(-3)^2=18\ge4 \Rightarrow \sim(yRx)\)
Korki z matmy, rozwiązywanie zadań
info na priv
info na priv